1 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & -1 & 0 \ 0 & -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 0 & 1 \计算本征值、
时间: 2024-01-04 19:01:58 浏览: 23
我们可以通过计算特征多项式来求解本征值:
$$
\begin{aligned}
\det(\rho - \lambda I) &= \left|\begin{matrix}
1-\lambda & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1-\lambda & -1 & 0 \\
0 & -1 & 1-\lambda & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1-\lambda \\
\end{matrix}\right| \\
&= (1-\lambda)\left|\begin{matrix}
1-\lambda & -1 & 0 \\
-1 & 1-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 1-\lambda \\
\end{matrix}\right| - (-1)\left|\begin{matrix}
0 & 0 & -1 \\
1-\lambda & 1-\lambda & 0 \\
-1 & 0 & 1-\lambda \\
\end{matrix}\right| \\
&= (1-\lambda)[(1-\lambda)^2 - 1] + (-1)[(1-\lambda)^2 - 1] \\
&= (2\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda-2)
\end{aligned}
$$
解得本征值为 $\lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3=1, \lambda_4=3$。其中 $\lambda_3=1$ 对应的本征向量为:
$$
|\lambda_3\rangle = \frac{1}{2}(|uu\rangle - |ud\rangle - |du\rangle + |dd\rangle)
$$
因为有一个本征值是 $1$,所以这是一个纠缠态。