用雅可比迭代法求解方程组(■(4&-1&0&-1&0@-1&4&-1&0&-1@0&-1&4&-1&0@-1&0&-1&4&-1@0&-1&0&-1&4))(■(x_1@x_2@x_3@x_4@x_5 ))=(■(28@1@2@1@2)) ,要求误差不超过 ,并输出迭代次数。
时间: 2024-04-27 18:21:51 浏览: 15
好的,我会根据你的要求进行操作。首先,我们需要将方程组转化为矩阵形式:AX=B,其中A为系数矩阵,X为未知数矩阵,B为常数矩阵。
将题目给出的系数矩阵A和常数矩阵B代入,得到:
A =
[[ 4 -1 0 -1 0]
[-1 4 -1 0 -1]
[ 0 -1 4 -1 0]
[-1 0 -1 4 -1]
[ 0 -1 0 -1 4]]
B =
[[28]
[ 1]
[ 2]
[ 1]
[ 2]]
接下来,我们需要对系数矩阵A进行对角线占优分解,即将A分解成D-L-U三个矩阵的乘积,其中D为A的对角线矩阵,L为A的下三角矩阵(不包括对角线),U为A的上三角矩阵(不包括对角线),且满足D-L-U=A。
对于该方程组,其对角线占优分解形式为:
D =
[[ 4 0 0 0 0]
[ 0 4 0 0 0]
[ 0 0 4 0 0]
[ 0 0 0 4 0]
[ 0 0 0 0 4]]
L =
[[ 0 0 0 0 0]
[ 1 0 0 0 0]
[ 0 1 0 0 0]
[ 1 0 1 0 0]
[ 0 1 0 1 0]]
U =
[[ 0 -1 0 -1 0]
[ 0 0 -1 0 -1]
[ 0 0 0 -1 0]
[ 0 0 0 0 -1]
[ 0 0 0 0 0]]
接下来,我们可以采用雅可比迭代法求解该方程组。首先,我们需要对未知数进行初值赋值,这里我们将所有未知数的初值均设为0,即:
X =
[[0]
[0]
[0]
[0]
[0]]
然后,我们需要计算出迭代矩阵T和常数矩阵C,其中:
T = -D^(-1) * (L + U)
C = D^(-1) * B
根据上述公式计算得到:
T =
[[ 0. 0.25 0. 0.25 0. ]
[ 0.25 0. 0.25 0. 0.25 ]
[ 0. 0.25 0. 0.25 0. ]
[ 0.25 0. 0.25 0. 0.25 ]
[ 0. 0.25 0. 0.25 0. ]]
C =
[[ 7. ]
[ 0.25]
[ 0.5 ]
[ 0.25]
[ 0.5 ]]
接下来,我们可以开始迭代求解。设第k次迭代的解为X(k),则下一次迭代的解X(k+1)可以由以下公式得到:
X(k+1) = T * X(k) + C
我们需要不断迭代,直到满足指定的误差要求。这里我们将误差要求设为0.0001,即当两次迭代的解之间的差的绝对值均小于0.0001时,停止迭代。
下面是Python代码实现:
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