雅可比迭代法求方程组

雅可比迭代法是一种求解线性方程组的迭代算法，其基本思想是将线性方程组的系数矩阵分解为一个对角矩阵和一个非对角矩阵的和，然后通过迭代求解方程组的解向量。具体步骤如下：

1.将线性方程组表示为Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。

2.将系数矩阵A分解为一个对角矩阵D和一个非对角矩阵L+U的和，其中L是A的严格下三角部分，U是A的严格上三角部分，即A=D-L-U。

3.将方程组表示为x=(D-L-U)x+b的形式，即x(k+1)=(D-L-U)x(k)+b，其中x(k)表示第k次迭代的解向量，x(k+1)表示第k+1次迭代的解向量。

4.根据上述公式进行迭代，直到满足收敛条件为止。收敛条件可以是解向量的相对误差小于某个给定的阈值，或者迭代次数达到某个给定的最大值。

下面是一个使用Python实现雅可比迭代法求解线性方程组的例子：

import numpy as np

# 定义系数矩阵A和常数向量b
A = np.array([[10, 1, 2], [2, 10, 3], [3, 4, 10]])
b = np.array([7, 8, 6])

# 定义对角矩阵D、严格下三角矩阵L和严格上三角矩阵U
D = np.diag(np.diag(A))
L = -np.tril(A, k=-1)
U = -np.triu(A, k=1)

# 定义迭代次数和初始解向量x
max_iter = 100
x = np.zeros_like(b)

# 迭代求解
for i in range(max_iter):
    x = np.dot(np.linalg.inv(D), b + np.dot(L + U, x))
    if np.allclose(np.dot(A, x), b):
        break

# 输出结果
print("Solution: ", x)