雅可比迭代法解方程组c++

雅可比迭代法是一种迭代法，用于解线性方程组。其基本思想是将一个线性方程组的解分解成多个变量的解，然后将每个变量的解按某种方式迭代更新，直到满足一定的精度要求为止。

设线性方程组为 Ax=b，其中 A 为 n 阶方阵，x 和 b 分别为 n 维列向量。则可以将其分解为

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
$$

然后，将每个变量的解按如下方式迭代更新：

$$
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}(b_i - \sum_{j=1,j \neq i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}), \quad i=1,2,\cdots,n
$$

其中，k 表示迭代次数，x_i^{(k)} 表示第 k 次迭代时第 i 个变量的解。迭代过程一直进行，直到满足一定的精度要求为止。

雅可比迭代法的收敛性和速度取决于矩阵 A 的特征值分布。一般情况下，当 A 是对称正定矩阵时，雅可比迭代法具有较好的收敛性和速度。如果 A 不是对称正定矩阵，则需要使用其他迭代方法。