matlab雅可比迭代法解线性方程组的设计思想
时间: 2023-12-09 14:35:41 浏览: 75
根据引用[1],雅可比迭代法是一种解决线性方程组的迭代方法。其设计思想是将线性方程组的系数矩阵分解为对角矩阵和非对角矩阵两部分,然后通过迭代求解来逐步逼近方程组的解。具体来说,设线性方程组为Ax=b,其中A为系数矩阵,b为常数向量,将A分解为D、L、U三个矩阵的和,其中D为A的对角线矩阵,L为A的下三角矩阵(不包括对角线),U为A的上三角矩阵(不包括对角线),即A=D-L-U。则原方程组可以改写为(D-L-U)x=b,进一步变形为Dx=(L+U)x+b。因为D是对角矩阵,所以可以通过迭代求解来逐步逼近方程组的解,即x(k+1)=D^(-1)(L+U)x(k)+D^(-1)b,其中x(k)为第k次迭代的解,x(k+1)为第k+1次迭代的解,D^(-1)为D的逆矩阵。迭代的过程中,每次都需要将上一次迭代得到的解代入到公式中计算新的解,直到满足一定的精度要求为止。
下面是matlab中使用雅可比迭代法解线性方程组的示例代码:
```matlab
% 定义系数矩阵A和常数向量b
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];
% 定义迭代初始值和精度要求
x0 = [0; 0; 0];
epsilon = 1e-6;
% 迭代求解
D = diag(diag(A)); % 对角矩阵
L = tril(A,-1); % 下三角矩阵
U = triu(A,1); % 上三角矩阵
Tj = D \ (L + U); % 迭代矩阵
cj = D \ b; % 迭代常数向量
x = x0;
while true
x_new = Tj * x + cj;
if norm(x_new - x) < epsilon
break;
end
x = x_new;
end
% 输出结果
disp(x);
```