\begin{pmatrix}10&-1&0\\ -1&10&-2\\ 0&-2&10\\ \end{}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{}=\begin{pmatrix}9\\7\\6 \end{}
时间: 2023-10-03 15:04:36 浏览: 45
根据给定的矩阵和向量,我们可以将问题转化为一个线性方程组。根据矩阵乘法的定义,我们可以得到以下等式:
10x1 - x2 = 9
-x1 + 10x2 - 2x3 = 7
-2x2 + 10x3 = 6
通过求解这个线性方程组,我们可以得到向量x的值。可以使用矩阵求逆的方法来求解,即将系数矩阵和向量矩阵进行拼接,然后求逆。具体步骤如下:
1. 构建增广矩阵:
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣10 -1 0 | 9⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
2. 通过行变换将增广矩阵转化为行阶梯形式:
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 -0.1 0 | 0.9⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
3. 继续行变换,使得主元素所在列的其他元素都变为0:
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 0 0 | 1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
4. 从行阶梯形式的矩阵中读取解:
x1 = 1
x2 = 0
x3 = 1
因此,解为x = (1, 0, 1)。
相关问题
1 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & -1 & 0 \ 0 & -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 0 & 1 \计算本征值、
我们可以通过计算特征多项式来求解本征值:
$$
\begin{aligned}
\det(\rho - \lambda I) &= \left|\begin{matrix}
1-\lambda & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1-\lambda & -1 & 0 \\
0 & -1 & 1-\lambda & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1-\lambda \\
\end{matrix}\right| \\
&= (1-\lambda)\left|\begin{matrix}
1-\lambda & -1 & 0 \\
-1 & 1-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 1-\lambda \\
\end{matrix}\right| - (-1)\left|\begin{matrix}
0 & 0 & -1 \\
1-\lambda & 1-\lambda & 0 \\
-1 & 0 & 1-\lambda \\
\end{matrix}\right| \\
&= (1-\lambda)[(1-\lambda)^2 - 1] + (-1)[(1-\lambda)^2 - 1] \\
&= (2\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda-2)
\end{aligned}
$$
解得本征值为 $\lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3=1, \lambda_4=3$。其中 $\lambda_3=1$ 对应的本征向量为:
$$
|\lambda_3\rangle = \frac{1}{2}(|uu\rangle - |ud\rangle - |du\rangle + |dd\rangle)
$$
因为有一个本征值是 $1$,所以这是一个纠缠态。
给定矩阵 $A=\begin{bmatrix} 5 & 2 & -4 \ 2 & 1 & -2 \ -4 & -2 & 5 \end{bmatrix}$,,求doolittle分解和LDU分解
向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 与矩阵 $A$ 的积为:
$$A\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5(1)+1(-2)+(-1)(3) \\ 2(1)+0(-2)+3(3) \\ (-3)(1)+4(-2)+2(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 11 \\ -7 \end{bmatrix}$$
因此,答案为 $\begin{bmatrix} 0 \\ 11 \\ -7 \end{bmatrix}$。