1 -2 0 0\-1 0 0 0\0 0 2 1\0 0 0 2\此矩阵的相似矩阵并给出过程
时间: 2023-06-18 13:04:59 浏览: 49
为了求出相似矩阵,我们需要先求出这个矩阵的特征值和特征向量。
计算特征值:
$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & -2 & 0 & 0\\
1 & -2-\lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & 2-\lambda & -1\\
0 & 0 & 0 & 2-\lambda
\end{vmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda)(2-\lambda)^2=0
$$
解得 $\lambda_1=1,\ \lambda_2=-2,\ \lambda_3=2$。
计算特征向量:
对于 $\lambda_1=1$,我们需要求解齐次线性方程组 $(A-\lambda_1I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$,得到特征向量 $\mathbf{v}_1=(1,1,0,0)^T$;
对于 $\lambda_2=-2$,我们需要求解齐次线性方程组 $(A-\lambda_2I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$,得到特征向量 $\mathbf{v}_2=(0,0,1,0)^T$;
对于 $\lambda_3=2$,我们需要求解齐次线性方程组 $(A-\lambda_3I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$,得到特征向量 $\mathbf{v}_3=(0,0,1,-1)^T$。
将特征向量按列组成矩阵 $P$,有:
$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
$$
则相似矩阵 $A'$ 可以表示为 $A' = P^{-1}AP$,其中 $P^{-1}$ 可以通过对 $P$ 进行初等行变换得到:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 0\\
1 & -4 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$
因此,相似矩阵为:
$$
A' = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$