设矩阵A=(1 -1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 -1 1)可否化为相似对角矩阵求出可逆矩阵p,使p∧-1AP=A
时间: 2023-08-01 13:08:19 浏览: 51
首先,我们可以计算矩阵A的特征多项式:
|λI - A| = |λ-1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 λ+1 -1 0 0 -1 λ+1|
= (λ-1)(λ+1)(λ-1)(λ+1) = (λ^2-1)^2
由此可知,矩阵A的特征值为±1,且代数重数为4。
接下来,我们可以计算矩阵A对应特征值λ=1的特征向量。解方程组(λI - A)x = 0,即
(0 -1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 -1 0)(x1 x2 x3 x4)^T = (0 0 0 0)^T
得到自由变量x2 = x4,x1 = x3 + x4,x4和x3可以任意取值,所以矩阵A对应特征值λ=1的特征向量为:
(1 0 0 1)^T, (0 1 -1 0)^T, (0 0 0 1)^T, (0 0 1 0)^T
同理,我们可以计算矩阵A对应特征值λ=-1的特征向量为:
(1 0 0 -1)^T, (0 1 1 0)^T, (0 0 0 1)^T, (0 0 1 0)^T
由于A有4个线性无关的特征向量,所以可以将其相似对角化。令P = (v1 v2 v3 v4),其中v1,v2,v3,v4分别是上述特征向量,得到
P^-1AP = diag(1,1,1,-1,-1,-1,1,1)
因此,可逆矩阵P满足P = (v1 v2 v3 v4),其中v1,v2,v3,v4分别是上述特征向量。
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python 如何指定条件将矩阵转换成0-1矩阵
可以使用numpy库中的where函数来指定条件将矩阵转换成0-1矩阵。具体操作如下:
1. 导入numpy库
``` python
import numpy as np
```
2. 创建矩阵
``` python
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
```
3. 指定条件
例如,将矩阵中大于等于5的元素转换为1,小于5的元素转换为0。
``` python
cond = matrix >= 5
```
4. 使用where函数将符合条件的元素转换为1,不符合条件的元素转换为0。
``` python
result = np.where(cond, 1, 0)
```
最终得到的result即为0-1矩阵。完整代码如下:
``` python
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
cond = matrix >= 5
result = np.where(cond, 1, 0)
print(result)
```
输出结果:
```
[[0 0 0]
[0 1 1]
[1 1 1]]
```
MATLAB将1-1000范围内矩阵缩放至0-255
可以使用MATLAB的min和max函数来获取矩阵最小值和最大值,然后使用线性变换将矩阵缩放至0-255范围内。
以下是示例代码:
```matlab
% 生成1-1000的矩阵
A = (1:1000)';
% 获取最小值和最大值
minA = min(A);
maxA = max(A);
% 线性变换
B = (A - minA) * 255 / (maxA - minA);
% 输出结果
disp(B);
```
其中,变量`A`表示原始矩阵,`minA`和`maxA`分别表示矩阵的最小值和最大值,`B`表示缩放后的矩阵。在上述代码中,通过将`A`中的每个元素减去最小值并乘以255,再除以最大值与最小值的差,即可将矩阵缩放至0-255的范围内。