求矩阵A={-1,-2,6;-1,0,3;-1,-1,4;}的Jordan标准形,并求出可逆矩阵P,使得P的逆矩阵乘以A乘以P等于J
时间: 2023-06-25 15:06:33 浏览: 79
首先,我们求出矩阵A的特征多项式:
$$
\begin{aligned}
\det(\lambda I - A) &= \begin{vmatrix} \lambda + 1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda - 4 \end{vmatrix} \\
&= (\lambda + 1) \begin{vmatrix} \lambda & -3 \\ 1 & \lambda - 4 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & \lambda - 4 \end{vmatrix} + 6 \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\
&= (\lambda + 1)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) + 2(\lambda - 5) + 6(1 - \lambda) \\
&= \lambda^3 - \lambda^2 - 13\lambda + 15 \\
&= (\lambda - 1)(\lambda - 3)(\lambda + 5)
\end{aligned}
$$
因此,矩阵A的特征值为1,3和-5。
接下来,我们求出每个特征值对应的特征向量。当$\lambda=1$时,解齐次线性方程组$(A - I)x = 0$,即
$$
\begin{pmatrix} -2 & 2 & -6 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
化简得到$x = y - 3z$。取$y = 3$,$z = 1$,得到特征向量$v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。
当$\lambda=3$时,解齐次线性方程组$(A - 3I)x = 0$,即
$$
\begin{pmatrix} -4 & 2 & -6 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
化简得到$x = \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}z$。取$y = 4$,$z = -2$,得到特征向量$v_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$。
当$\lambda=-5$时,解齐次线性方程组$(A + 5I)x = 0$,即
$$
\begin{pmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 1 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
化简得到$x = -\frac{1}{2}y - \frac{3}{4}z$。取$y = 4$,$z = -2$,得到特征向量$v_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$。
由于矩阵A有三个不同的特征值,因此它可以相似对角化。我们可以将特征向量$v_1$,$v_2$,$v_3$组成矩阵$P = \begin{pmatrix} 4 & 5 & -3 \\ 3 & 4 & 4 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$。则$P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{5}{9} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$。
矩阵$P^{-1}AP$即为矩阵A的Jordan标准形,即
$$
J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}
$$