求矩阵A={-1,-2,6;-1,0,3;-1,-1,4;}的Jordan标准形J
时间: 2023-06-25 20:06:29 浏览: 176
为了求出矩阵A的Jordan标准形J,需要先求出其特征值和特征向量。
首先,计算特征多项式:
$$
\begin{aligned}
\det(\lambda I - A) &= \left|\begin{matrix}
\lambda + 1 & 2 & -6 \\
1 & \lambda & -3 \\
1 & 1 & \lambda - 4
\end{matrix}\right| \\
&= (\lambda+1)\left|\begin{matrix}
\lambda & -3 \\
1 & \lambda - 4
\end{matrix}\right| - 2\left|\begin{matrix}
1 & -3 \\
1 & \lambda - 4
\end{matrix}\right| + 6\left|\begin{matrix}
1 & \lambda \\
1 & 1
\end{matrix}\right| \\
&= (\lambda+1)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - 2[(\lambda-4) - 3] + 6(\lambda - 1) \\
&= \lambda^3 - 3\lambda^2 - 3\lambda + 9 \\
&= (\lambda-3)^2 (\lambda+1)
\end{aligned}
$$
因此,特征值为 $\lambda_1 = 3$ (代数重数为 2)和 $\lambda_2 = -1$。
对于 $\lambda_1 = 3$,我们需要求解如下方程组:
$$
(A - 3I)\textbf{x} = \left[\begin{matrix}
-4 & -2 & 6 \\
-1 & -3 & 3 \\
-1 & -1 & 1
\end{matrix}\right] \textbf{x} = \textbf{0}
$$
将增广矩阵 $[A-3I|\textbf{0}]$ 进行初等行变换,得到如下矩阵:
$$
\left[\begin{matrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}\right]
$$
因此,$\lambda_1 = 3$ 对应的特征向量为 $\textbf{v}_1 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$ 和 $\textbf{v}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$。
对于 $\lambda_2 = -1$,我们需要求解如下方程组:
$$
(A + I)\textbf{x} = \left[\begin{matrix}
0 & -2 & 6 \\
-1 & 1 & 3 \\
-1 & -1 & 3
\end{matrix}\right] \textbf{x} = \textbf{0}
$$
将增广矩阵 $[A+I|\textbf{0}]$ 进行初等行变换,得到如下矩阵:
$$
\left[\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}\right]
$$
因此,$\lambda_2 = -1$ 对应的特征向量为 $\textbf{v}_3 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$。
将特征向量按列组成矩阵 $P$,有:
$$
P = \left[\begin{matrix}
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right]
$$
进一步,根据 Jordan 分解定理,矩阵 $A$ 的Jordan标准形 $J$ 可以表示为:
$$
J = P^{-1}AP = \left[\begin{matrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{matrix}\right]
$$
因此,矩阵 $A$ 的Jordan标准形为 $J = \left[\begin{matrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{matrix}\right]$。