设A=【0 i 1 -i 0 0 1 0 0】,求酉矩阵Q使Q逆AQ是对角矩阵
时间: 2023-06-25 17:02:15 浏览: 50
我们可以利用矩阵的特征分解来求解。具体步骤如下:
1. 求出A的特征值和特征向量。
设A的特征值为λ,对应的特征向量为x,则有
det(A-λI) = 0
解得λ1 = i,λ2 = -i,λ3 = 0。
对于λ1 = i,有
(A-λ1I)x1 = 0
即
[0 -1 1
i -i 0
1 0 0] [x1,y1,z1]T = 0
解得x1 = -i,y1 = -1,z1 = -i。
对于λ2 = -i,有
(A-λ2I)x2 = 0
即
[0 1 1
-i -i 0
1 0 0] [x2,y2,z2]T = 0
解得x2 = i,y2 = -1,z2 = i。
对于λ3 = 0,有
(A-λ3I)x3 = 0
即
[0 i 1
-i 0 0
1 0 0] [x3,y3,z3]T = 0
解得x3 = 0,y3 = -1,z3 = i。
2. 将特征向量规范化。
将x1,x2,x3规范化得到
u1 = [1/sqrt(6) -i/sqrt(6) 1/sqrt(6)]T,
u2 = [-1/sqrt(6) -i/sqrt(6) -1/sqrt(6)]T,
u3 = [2/sqrt(6) 0 -1/sqrt(6)]T。
注意到u1,u2,u3是单位向量,且两两正交。
3. 构造酉矩阵Q。
将u1,u2,u3按列放在一起构成一个3×3的矩阵U,则有
U = [1/sqrt(6) -1/sqrt(6) 2/sqrt(6)
-i/sqrt(6) -i/sqrt(6) 0
1/sqrt(6) -1/sqrt(6) -1/sqrt(6)]
由于U的列向量是单位向量且两两正交,因此U是一个酉矩阵。
4. 求出Q逆AQ。
有
Q逆AQ = UH AU
其中UH是U的共轭转置。将A和U代入上式,得到
Q逆AQ = [i 0 0
0 -i 0
0 0 0]
即Q逆AQ是一个对角矩阵,且对角线上的元素是A的特征值。