求矩阵A={-1,-2,6;-1,0,3;-1,-1,4;}的Jordan标准形,并求出可逆矩阵P,使得P的逆矩阵*A*P=J(写出详细步骤)
时间: 2023-06-26 15:05:32 浏览: 52
首先,求出矩阵A的特征多项式:
$$
\begin{aligned}
\det(A-\lambda I)&=\begin{vmatrix}
-1-\lambda & -2 & 6 \\
-1 & -\lambda & 3 \\
-1 & -1 & 4-\lambda
\end{vmatrix} \\
&=-(\lambda+1)\begin{vmatrix}
-\lambda & 3 \\
-1 & 4-\lambda
\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}
-1 & 3 \\
-1 & 4-\lambda
\end{vmatrix}-6\begin{vmatrix}
-1 & -\lambda \\
-1 & -1
\end{vmatrix} \\
&=-(\lambda+1)(\lambda^2-4\lambda+3)-2(-\lambda+1)-6(\lambda-1) \\
&=-\lambda^3+\lambda^2+9\lambda-9
\end{aligned}
$$
令特征多项式为0,解得特征值为$\lambda_1=3,\lambda_2=-1,\lambda_3=-1$。
接下来,对每个特征值求解对应的特征向量:
当$\lambda=3$时,解得基础解系为$\alpha_1=[1,1,1]^T$。
当$\lambda=-1$时,解得基础解系为$\alpha_2=[1,0,1]^T,\alpha_3=[-2,1,0]^T$。
因此,根据Jordan标准形的定义,矩阵A的Jordan标准形为:
$$
J=\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$
接下来求解可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=J$。
对于特征值为3的特征向量$\alpha_1=[1,1,1]^T$,我们可以取$P_1=[\alpha_1,\beta_1,\gamma_1]=[1,1,1;0,1,0;0,0,1]$,则有$P_1^{-1}AP_1=J_1$,其中$J_1$为:
$$
J_1=\begin{bmatrix}
3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
$$
对于特征值为-1的特征向量$\alpha_2=[1,0,1]^T$,我们可以取$P_2=[\alpha_2,\beta_2,\gamma_2]=[1,0,-2;0,1,1;1,1,0]$,则有$P_2^{-1}AP_2=J_2$,其中$J_2$为:
$$
J_2=\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$
对于特征值为-1的特征向量$\alpha_3=[-2,1,0]^T$,我们可以取$P_3=[\alpha_3,\beta_3,\gamma_3]=[-2,1,1;1,0,1;0,1,0]$,则有$P_3^{-1}AP_3=J_3$,其中$J_3$为:
$$
J_3=\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$
因此,可逆矩阵$P=[P_1,P_2,P_3]$,使得$P^{-1}AP=J$。