1 -2 0 0;-1 0 0 0;0 0 2 1;0 0 0 2;求此矩阵的相似矩阵
时间: 2023-06-18 17:05:11 浏览: 45
我们可以使用相似矩阵的定义来求解,即找到一个可逆矩阵 $P$,使得 $P^{-1}AP$ 得到一个相似的矩阵。
首先,我们需要求出矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。
$$
\begin{vmatrix}
1-\lambda & -2 & 0 & 0 \\
-1 & -\lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-\lambda & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2-\lambda
\end{vmatrix} = (1-\lambda)(\lambda-2)^2 = 0
$$
解得特征值为 $\lambda_1=1$,$\lambda_2=2$(重根)。
对于特征值 $\lambda_1=1$,我们有:
$$
\begin{pmatrix}
1-1 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
可以得到一个特征向量 $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$。
对于特征值 $\lambda_2=2$,我们有:
$$
\begin{pmatrix}
1-2 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2-2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$
可以得到两个线性无关的特征向量 $\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$。
将这些特征向量作为列向量组成一个矩阵 $P$:
$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
计算 $P^{-1}$:
$$
P^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
计算相似矩阵:
$$
\begin{aligned}
P^{-1}AP &= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
因此,相似矩阵为 $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$。
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