求B=[1 0 1, 0 1 -1]的奇异值分解
时间: 2024-05-25 11:11:52 浏览: 11
首先,我们可以求出 $B^T B$:
$$B^T B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$
然后,我们可以求出 $B^T B$ 的特征值和特征向量:
$$\begin{vmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0$$
解得 $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1$。
对于 $\lambda_1 = 3$,我们有:
$$\begin{bmatrix} 2 - 3 & -1 \\ -1 & 2 - 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
解得 $v_1 = v_2$,因此特征向量为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
对于 $\lambda_2 = 1$,我们有:
$$\begin{bmatrix} 2 - 1 & -1 \\ -1 & 2 - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$
解得 $v_1 = -v_2$,因此特征向量为 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$。
将特征向量单位化,得到:
$$u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$
因此,$B$ 的奇异值分解为:
$$B = U \Sigma V^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}^T$$
其中,$\Sigma$ 是奇异值矩阵,$U$ 是左奇异矩阵,$V$ 是右奇异矩阵。
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