已知方阵的特征值，如何求方阵伴随矩阵的特征值

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$B$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 为 $A$ 的特征值。则有以下结论：

1. $B$ 也是 $n$ 阶方阵。

2. $A$ 和 $B$ 具有相同的特征多项式，即

$$\det(\lambda I - A) = \det(\lambda I - B)$$

3. $A$ 和 $B$ 的秩相等，且满足

$$A \cdot B = B \cdot A = \det(A) \cdot I$$

根据第二条结论，$B$ 和 $A$ 有相同的特征多项式，因此 $B$ 的特征值与 $A$ 的特征值相同。因此，若已知 $A$ 的特征值，则可直接计算 $B$ 的特征值，无需再次求解特征多项式。

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已知矩阵特征值求伴随矩阵的特征值

设矩阵A的特征值为λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为x1, x2, …, xn，则其伴随矩阵A*的特征值为λ1^(n-1), λ2^(n-1), …, λn^(n-1)。

这个结论可以通过计算矩阵的特征多项式得出。设A的特征多项式为f(λ)，则伴随矩阵A*的特征多项式为f(λ)*(λ^(n-1))。因此，A*的特征值就是f(λ)*(λ^(n-1))的根。

注意，这个结论只适用于可逆矩阵，因为伴随矩阵的定义需要用到A的逆矩阵。对于奇异矩阵（即行列式为0的矩阵），其伴随矩阵不存在。

已知特征值特征向量求矩阵

如果已知一个矩阵的特征值和特征向量，可以使用特征分解（也称为谱分解）来求解矩阵。特征分解将矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积的形式。

假设我们要求解的矩阵为 A，其特征值为 λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为 v1, v2, …, vn。我们可以将这些特征向量按列组成一个矩阵 V，它的第 i 列为特征向量 vi。同样地，我们可以将这些特征值按对角线组成一个矩阵 Λ，它的第 i 个对角线元素为 λi。那么矩阵 A 可以被分解为：

A = VΛV^-1

其中 V^-1 表示 V 的逆矩阵。因为特征向量矩阵 V 是一个正交矩阵，所以 V^-1 = V^T，即 V 的转置矩阵。

因此，如果已知矩阵 A 的特征值和特征向量，我们可以通过上述公式求出矩阵 A。