已知特征值，求单位正交特征向量的步骤

设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，对于每个特征值 $\lambda_i$，求其对应的单位正交特征向量的步骤如下：

1. 对于每个特征值 $\lambda_i$，求解出 $A-\lambda_i I$ 的零空间，即求出 $A-\lambda_i I$ 的基础解系，得到线性无关的特征向量组 $\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_k}\}$。

2. 对于每个特征向量 $\boldsymbol{v_i}$，进行 Gram-Schmidt 过程，将其转化为单位正交特征向量 $\boldsymbol{u_i}$。

3. 最终得到的单位正交特征向量组为 $\{\boldsymbol{u_1},\boldsymbol{u_2},\cdots,\boldsymbol{u_k}\}$，其中 $\boldsymbol{u_i}$ 对应的特征值为 $\lambda_i$。

注意：在实际计算时，可以利用数值计算工具如 MATLAB 等来求解特征向量和特征值。

相关问题

已知特征值特征向量求矩阵

如果已知一个矩阵的特征值和特征向量，可以使用特征分解（也称为谱分解）来求解矩阵。特征分解将矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积的形式。

假设我们要求解的矩阵为 A，其特征值为 λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为 v1, v2, …, vn。我们可以将这些特征向量按列组成一个矩阵 V，它的第 i 列为特征向量 vi。同样地，我们可以将这些特征值按对角线组成一个矩阵 Λ，它的第 i 个对角线元素为 λi。那么矩阵 A 可以被分解为：

A = VΛV^-1

其中 V^-1 表示 V 的逆矩阵。因为特征向量矩阵 V 是一个正交矩阵，所以 V^-1 = V^T，即 V 的转置矩阵。

因此，如果已知矩阵 A 的特征值和特征向量，我们可以通过上述公式求出矩阵 A。

已知特征值求二次型的规范型

对于给定的二次型，其规范形式可以通过一系列线性变换来获取。当已知一个实对称矩阵A的所有特征值及其对应的特征向量时，可以采用如下方法将其转换成标准形或者规范形。

1. 对于实对称矩阵A，存在一组正交基由单位特征向量组成，使得在这组基下表示的矩阵是对角化的。这意味着存在一个正交矩阵P（它的列是由A的单位特征向量组成的），满足 $P^TAP = D$ ，其中D是一个对角阵，其主对角元素就是A的特征值。

2. 如果需要进一步化简为规范型，那么取决于所使用的内积空间以及是否考虑复数域上的情况。在实数域上，可以根据惯性定律调整对角元的符号以确保它们都是+1, -1或0的形式。这通常涉及到选择适当的非奇异线性变换S，从而实现 $X^TS^TASX=Y^TDY$ 。这里，$Y=SX$ 是新变量，而D是只含有±1和0的标准对角矩阵。

3. 当所有特征值都不同且是非零的时候，可以直接写出规范型；如果有重根或是零特征值，则可能还需要做额外的工作去确定具体的规范形式。

4. 最终的结果会给出一个与原来二次型等价的新二次型，在这个新的表达式里只有平方项出现，并且系数要么全为正值代表椭圆体类型，要么负值对应双曲面类型，或者是混合类型的超平面截痕。

为了具体地从已知的特征值得到某个特定二次型的规范型，应该先构造出该二次型关联的实对称矩阵，接着求解此矩阵的全部特征值及相应的特征向量，之后应用上述提到的过程完成转化工作。