已知特征值，求单位正交特征向量的步骤

设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，对于每个特征值 $\lambda_i$，求其对应的单位正交特征向量的步骤如下：

1. 对于每个特征值 $\lambda_i$，求解出 $A-\lambda_i I$ 的零空间，即求出 $A-\lambda_i I$ 的基础解系，得到线性无关的特征向量组 $\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},\cdots,\boldsymbol{v_k}\}$。

2. 对于每个特征向量 $\boldsymbol{v_i}$，进行 Gram-Schmidt 过程，将其转化为单位正交特征向量 $\boldsymbol{u_i}$。

3. 最终得到的单位正交特征向量组为 $\{\boldsymbol{u_1},\boldsymbol{u_2},\cdots,\boldsymbol{u_k}\}$，其中 $\boldsymbol{u_i}$ 对应的特征值为 $\lambda_i$。

注意：在实际计算时，可以利用数值计算工具如 MATLAB 等来求解特征向量和特征值。

相关问题

已知特征值特征向量求矩阵

如果已知一个矩阵的特征值和特征向量，可以使用特征分解（也称为谱分解）来求解矩阵。特征分解将矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积的形式。

假设我们要求解的矩阵为 A，其特征值为 λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为 v1, v2, …, vn。我们可以将这些特征向量按列组成一个矩阵 V，它的第 i 列为特征向量 vi。同样地，我们可以将这些特征值按对角线组成一个矩阵 Λ，它的第 i 个对角线元素为 λi。那么矩阵 A 可以被分解为：

A = VΛV^-1

其中 V^-1 表示 V 的逆矩阵。因为特征向量矩阵 V 是一个正交矩阵，所以 V^-1 = V^T，即 V 的转置矩阵。

因此，如果已知矩阵 A 的特征值和特征向量，我们可以通过上述公式求出矩阵 A。

已知一个矩阵A，如何通过寻找特征值特征向量的方法将其三角化。用Python实现

矩阵的三角化可以通过Schur分解实现，即将矩阵分解为一个上三角矩阵和一个酉矩阵的乘积。可以使用Python中的numpy库来实现。

以下是实现代码：

import numpy as np

# 定义一个矩阵A
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 使用numpy中的eig函数求出特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# 对特征向量进行正交化处理
Q, R = np.linalg.qr(eigenvectors)

# 对角化矩阵
D = np.dot(Q.T, np.dot(A, Q))

print("三角化矩阵：\n", D)

输出结果为：

三角化矩阵：
 [[ 1.61168440e+01 -6.66133815e-16 -2.77777511e-01]
 [ 0.00000000e+00 -1.11684397e+00  8.24411585e-01]
 [ 0.00000000e+00  0.00000000e+00 -1.30367773e-15]]

其中，D即为三角化后的矩阵。