C语言实现 QR分解求10x10矩阵特征值

"该资源是北京航空航天大学数值分析课程的第二次大作业，主要涉及QR分解在求解10x10矩阵A特征值问题中的应用。作业内容包括使用C语言编程实现带双步位移的QR分解法，通过Householder变换将矩阵转化为拟上三角矩阵，进而计算特征值。此外，还介绍了如何利用列主元高斯消元法求解特征向量。" 在数值分析中，QR分解是一种重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即A=QR。这个过程在求解线性方程组、计算特征值和特征向量等方面有广泛应用。本作业中的第二题要求利用带双步位移的QR分解法来求解10x10矩阵的全部特征值。 首先，算法设计方案的核心是Householder变换，它通过构造一个反射矩阵来对原矩阵进行对角线以下元素为零的变换，形成拟上三角矩阵A(n-1)。Householder变换通常涉及计算一个单位向量v，使得v与v-A(:,i)的反射作用可以将A的第i列变为一个标量乘以单位向量，从而逐步逼近上三角形式。 接下来，进行带双步位移的QR分解，这是一种改进的QR分解策略，可以在处理近似奇异或病态矩阵时提高稳定性。通过迭代过程，逐步更新Q和R矩阵，直到达到所需的精度或完成全部迭代。 求解特征值时，QR分解可以被用来找到特征值对应的特征向量。对于实对称矩阵，特征值可以直接从R的对角元素获取。但在非对称情况下，需要进一步处理。作业中提到，通过解二阶块矩阵的一元二次方程来求得特征值，这是因为在QR分解后，可以将特征值问题转化为求解这些二阶块的问题。 在求解特征向量时，采用了列主元高斯消元法。这种方法首先将矩阵调整为行最简形，确保最大绝对值元素位于主对角线上，然后通过一系列的行变换消去下方元素，形成阶梯形矩阵。由于矩阵已知为非满秩，最终的零空间将给出特征向量。 整个作业要求用C语言实现上述算法，这需要程序员对数值计算方法有深入理解，并能熟练运用编程技巧来处理浮点数运算和矩阵操作。完成这个作业不仅可以提升对数值分析的理解，也能提高编程能力。