A=(-4 3;-6 5)，求A的特征值和特征向量以及A的100次方

首先，我们需要求出A的特征值和特征向量：

特征值 λ 满足 |A-λI|=0，其中I为单位矩阵

|A-λI| = |(-4-λ) 3; -6 (5-λ)| = (λ+2)(λ-1)

所以 A 的特征值为 λ1=-2，λ2=1

接下来，我们求出特征向量：

对于 λ1=-2，解方程组 (A-λ1I)x=0，得到：

(2 3; -6 7)x = 0

解得 x1 = (3;2)，即 A 的特征向量为 (3,2)

对于 λ2=1，解方程组 (A-λ2I)x=0，得到：

(-5 3; -6 4)x = 0

解得 x2 = (3;2)，即 A 的特征向量为 (3,2)

因为两个特征向量相同，所以 A 不是对角化矩阵。

最后，我们求出 A 的100次方：

由于 A 可以对角化，即 A=PDP^-1，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵，则 A 的100次方为：

A^100 = (PDP^-1)^100 = PD^100P^-1

D^100 = diag((-2)^100, 1^100) = diag(2^100, 1)

P^-1 = (1/3)*(-2 3; 6 3)

PDP^-1 = (-2 3; 6 3) * diag(2^100, 1) * (1/3)*(-2 3; 6 3)

A^100 = (-2^100/3 + 2/3 3; 2^100/3 - 2/3 3; -2^100/3 + 2/3 6; 2^100/3 + 1/3 6)

相关问题

请用matlab解题 已知 A=[3/4,7/18;1/4,11/18] p(0)=(1/2,1/2)的转置 1）求A的特征值a和b和特征向量P1,P2 2）求u，v使p(1)=up1+vp2和p(n)= A(n)p(1)的表达式； 3）求出p(n)当n→00时的极限。

好的，我已经理解了您的要求，并且明白您的问题。下面是您提出问题的答案：

1）首先，我们需要求出 A 的特征值和特征向量。

用公式计算可得：

|A - λI| = 0

即：

(3/4 - λ)(11/18 - λ) - (7/18)(1/4) = 0

化简得：

λ^2 - (1/2)λ + (5/36) = 0

解得特征值为：

λ1 = 1/3， λ2 = 1/6

然后，我们需要求出 A 对应特征值的特征向量 P1、P2。

当 λ = 1/3 时，有：

(A - (1/3)I)P1 = 0

即：

(3/4 - 1/3)p1 + (7/18)p2 = 0

(1/4)p1 + (11/18 - 1/3)p2 = 0

解得特征向量为：

P1 = (1/3,1)

当 λ = 1/6 时，有：

(A - (1/6)I)P2 = 0

即：

(3/4 - 1/6)p1 + (7/18)p2 = 0

(1/4)p1 + (11/18 - 1/6)p2 = 0

解得特征向量为：

P2 = (-1, 4/3)

因此，A 的特征值为 λ1 = 1/3， λ2 = 1/6，对应的特征向量分别为 P1 = (1/3,1), P2 = (-1, 4/3)。

2）接下来，我们需要求解 u 和 v。

由题可知：

p(0) = (1/2,1/2)

p(1) = up1 + vp2

p(n) = A(n)p(1)，其中 A(n) 表示 A 的 n 次方。

根据以上公式可得：

p(1) = A(1)p(0)

= A*p(0)

= [(3/4,1/4),(7/18,11/18)] * (1/2,1/2)T

= (5/8,3/8)T

因此，我们有：

up1 + vp2 = (5/8,3/8)T

将特征向量代入得：

(1/3)u - v = 5/8

u + (4/3)v = 3/8

解得：

u = 7/6，v = -1/2

因此，p(1) = (7/6, -1/2)

对于 p(n)，有：

p(n) = A(n)p(1)

因此，我们只需要求出 A 的 n 次方，即可求解 p(n)。

由于 A 的特征值分别为 1/3 和 1/6，且两个特征值的几何重数均为 1，因此我们可以使用 A 的特征向量组成的矩阵 P 和特征值组成的对角矩阵 D 来计算 A 的 n 次方。

即：

A(n) = P * D^n * P^-1

其中，P^-1 表示 P 的逆矩阵。

由于 P 的行列式为 -5/3 ≠ 0，因此 P 有逆矩阵：

P^-1 = (3/5, 1/5; -4/5, 2/5)

因此，我们有：

A(n) = P * D^n * P^-1

= [(1/3,-1),(1,4/3)] * [(1/3)^n, 0; 0, (1/6)^n] * [(3/5, 1/5; -4/5, 2/5)]

= [(1/3)^n + (4/3)(1/6)^n, (1/3)^n - (1/6)^n; (4/3)(1/6)^n - (1/3)^n, (4/3)(1/6)^n + (2/3)(1/3)^n]

因此，我们有：

p(n) = A(n)p(1)

= [(1/3)^n + (4/3)(1/6)^n, (1/3)^n - (1/6)^n; (4/3)(1/6)^n - (1/3)^n, (4/3)(1/6)^n + (2/3)(1/3)^n] * (7/6, -1/2)T

= [(2/3)(1/3)^n + (1/3)(1/6)^n, (1/3)(1/3)^n - (1/6)(1/6)^n]T

3）最后，我们需要求出 p(n) 当 n → ∞ 时的极限值。

由于 A 的两个特征值的绝对值都小于 1，因此 p(n) 当 n → ∞ 时趋近于零向量。

即：

lim n → ∞ p(n) = (0,0)

因此，p(n) 当 n → ∞ 时的极限值为零向量。(我做题用的是Python)

设λ为矩阵A∈Cmxn的特征值，证明|λ|≤根号下m次方(||A||^m )

根据矩阵特征值的定义，有A v = λ v，其中v是非零向量，λ是特征值。则有：

|A|^m |v|^2 = |A^m v|^2 = |λ^m v|^2 = |λ|^2m |v|^2

因为v是非零向量，所以|v|^2不为0。因此，上式两边同时除以|v|^2，得到：

|A|^m = |λ|^2m
两边同时开m次方，得到：

|λ| ≤ ||A||

因此，证明了|λ|≤根号下m次方(||A||^m)。

关于GMM的迭代计算，它是通过EM算法来进行迭代式的求解的。EM算法是一种迭代算法，用于含有隐变量的概率模型的参数估计。在GMM中，EM算法的目标是最大化观测数据的对数似然函数，通过迭代求解来得到模型的参数。具体来说，EM算法分为两步：E步和M步。在E步中，根据当前的参数估计值，计算隐变量的后验概率分布；在M步中，根据计算得到的隐变量的后验概率分布，更新模型的参数估计值。通过不断迭代E步和M步，最终得到模型的参数估计值。

至于为什么kmeans，GMM，EM满足上述描述的方式，这是因为它们都是基于最大化观测数据的对数似然函数来进行参数估计的。在kmeans中，最大化的是数据点与其所属簇中心的距离平方和；在GMM中，最大化的是数据点属于各个高斯分布的后验概率之和的对数；在EM算法中，最大化的是观测数据的对数似然函数。因此，它们都满足上述描述的方式。