伯努利数和欧拉数 系数表

伯努利数和欧拉数的系数表如下：

| n | $B_n$ | $E_n$ |
|---|--------|--------|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | -1/2 | 0 |
| 2 | 1/6 | 1 |
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | -1/30 | -1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | 1/42 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 8 | -1/30 | -1 |
| 9 | 0 | 0 |
|10 | 5/66 | 1 |
|11 | 0 | 0 |
|12 | -691/2730 | -1 |
|13 | 0 | 0 |
|14 | 7/6 | 1 |
|15 | 0 | 0 |
|16 | -3617/510 | -1 |
|17 | 0 | 0 |
|18 | 43867/798 | 1 |
|19 | 0 | 0 |
|20 | -174611/330 | -1 |

其中，$B_n$表示伯努利数，$E_n$表示欧拉数。

相关问题

BZOJ2627 伯努利数

这是一道经典的组合数学题目，需要一些基本的组合数学知识。

首先，我们先来了解一下伯努利数。伯努利数是组合数学中的一类数列，它们的递推式如下：

$$B_0 = 1, B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n-1}{{n+1}\choose{i}}B_i$$

其中 $n\geq 1$，${n\choose k}$ 表示组合数，$B_n$ 表示第 $n$ 个伯努利数。

接下来，我们考虑如何计算 $\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i$。根据二项式定理，我们有：

$$(1+x)^{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1}{n+1\choose{i}}x^i$$

对上式两边求导可以得到：

$$(n+1)(1+x)^n = \sum_{i=1}^{n+1}{n+1\choose{i}}ix^{i-1}$$

将 $x=1$ 带入上式，得到：

$$(n+1)\cdot 2^n = \sum_{i=1}^{n+1}{n+1\choose{i}}i$$

注意到 $B_0=1$，我们可以对伯努利数的递推式进行变形：

\begin{aligned} B_n &= -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n-1}{{n+1}\choose{i}}B_i \\ &= -\frac{1}{n+1}\left({{n+1}\choose{0}}B_0 + \sum_{i=1}^{n}{{n+1}\choose{i}}B_i\right) \\ &= -\frac{1}{n+1}\left({{n+1}\choose{0}}B_0 + \sum_{i=1}^{n}{n+1\choose{i}}B_i\right) + \frac{1}{n+1}{{n+1}\choose{0}}B_0 \\ &= -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i + \frac{1}{n+1} \end{aligned}

因此，我们有：

$$\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i = (n+1)(B_{n+1}-1)$$

这个式子可以通过数学归纳法进行证明。

现在，我们已经得到了 $\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i$ 的计算公式，只需要预处理出前 $n$ 个伯努利数就可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内解决这个问题了。

欧拉-伯努利梁newmark

欧拉-伯努利梁(Newmark)是一种常用的结构力学模型，用于分析梁的振动性能和动力响应。它是以康特瑞夫维奇·莱昂哈德·欧拉和丹尼尔·伯努利的名字命名的。

欧拉-伯努利梁假设梁轴线在振动过程中保持直线且未发生弯曲。这种假设适用于局部弯曲和充分细长的梁结构。基于这个假设，欧拉-伯努利梁可通过欧拉梁方程来描述，即M=E·I·y''''(x)。

Newmark是指Newmark方法，是一种常用的数值求解动力系统响应的方法。在欧拉-伯努利梁的振动分析中，可以使用Newmark方法来模拟梁的运动过程和响应。

Newmark方法是一种线性时间积分法，根据结构的初始条件和外部激励条件，求解出每个时间步长上结构的位移、速度和加速度。该方法的关键在于选取合适的时间步长和积分参数。常见的Newmark方法包括线性加速度法和线性速度法。

在欧拉-伯努利梁的振动分析中，欧拉梁方程可以通过步长为Δt的时间离散化转化为一个常微分方程组。然后，可以使用Newmark方法求解该常微分方程组，得到梁的每个时间步长上的位移、速度和加速度。

通过欧拉-伯努利梁结构的力学模型和Newmark方法的数值求解，可以对梁的振动性能和动力响应进行分析。这对于工程领域中设计和优化梁结构的安全性和稳定性非常重要。