1/((x + 3*y)*(x + 4*y)*(x + 5*y)^3) 进行部分分式展开 ，x为变量，y为常数

我们可以使用“部分分式分解”的方法将这个分式展开为若干个简单的分式相加的形式。具体的步骤如下：

首先，我们可以将分母进行因式分解，得到：

1/((x + 3*y)*(x + 4*y)*(x + 5*y)^3) = A/(x + 3*y) + B/(x + 4*y) + C/(x + 5*y) + D/(x + 5*y)^2 + E/(x + 5*y)^3

其中，A、B、C、D、E 是待定系数，我们需要求出它们的具体值。

接下来，我们将上式的分子通分，然后与原式的分母相等，得到：

1 = A*(x + 4*y)*(x + 5*y)^3 + B*(x + 3*y)*(x + 5*y)^3 + C*(x + 3*y)*(x + 4*y)*(x + 5*y)^2 + D*(x + 3*y)*(x + 4*y)*(x + 5*y) + E*(x + 3*y)*(x + 4*y)

接着，我们分别取 x 的不同值，将上式化为线性方程组，然后解出 A、B、C、D、E 的值，即可得到部分分式展开的结果。

取 x = -3*y，得到：

1 = B*(-2*y + 5*y)^3 + C*(-2*y + 4*y)*(2*y)^2 + D*(-2*y + 4*y)*(3*y) + E*(-2*y + 4*y)^2

化简得：

1 = 27*B - 24*C*y + 6*D*y^2 - 4*E*y^3

取 x = -4*y，得到：

1 = A*(-y + 5*y)^3 + C*(-y + 3*y)*(y)^2 + D*(-y + 3*y)*(2*y) + E*(-y + 3*y)^2

化简得：

1 = -64*A + 9*C*y - 6*D*y^2 + E*y^3

取 x = -5*y，得到：

1 = A*(-2*y)^3 + B*(-y)^3 + D*(-2*y)*(y) + E*(-2*y)^2

化简得：

1 = -8*A - B + 10*D*y - 20*E*y^2

取 x = -5*y，再对原式求导，得到：

-3/((x + 3*y)^2*(x + 4*y)*(x + 5*y)^3) = -A/(x + 3*y)^2 - B/(x + 4*y)^2 - C/(x + 5*y)^2 - 2*D/(x + 5*y)^3 - 3*E/(x + 5*y)^4

化简得：

3/((5*y)^2*(4*y)*(3*y)^3) = A/(3*y)^2 + B/(4*y)^2 + C/(5*y)^2 + 2*D/(5*y)^3 + 3*E/(5*y)^4

化简得：

3/(5400*y^4) = A/9 + B/16 + C/25 + 2*D/125 + 3*E/500

最后，我们解出 A、B、C、D、E 的值，得到：

A = -3/(2*y^4)
B = 2/(y^4)
C = -5/(2*y^4)
D = -3/(10*y^4)
E = 0

因此，原式可以展开为：

1/((x + 3*y)*(x + 4*y)*(x + 5*y)^3) = (-3/(2*y^4))/(x + 3*y) + (2/(y^4))/(x + 4*y) + (-5/(2*y^4))/(x + 5*y) + (-3/(10*y^4))/(x + 5*y)^2