证明:在任何有n个人的人群中,至少有两个在其中恰有相同个数的朋友(要求使用图论知识)
时间: 2023-03-30 07:00:34 浏览: 216
根据鸽巢原理,如果有n个人,每个人最多有n-1个朋友,那么总共最多有n(n-1)个朋友关系。如果n(n-1)+1个人进入这个人群,那么必定有至少两个人拥有相同数量的朋友。因此,在n个人的人群中,必定有至少两个人在其中恰有相同个数的朋友。
相关问题
有n个人,如果其中二个人认识则要分到二个场地,那么最少要几个场地问题实现代码
这是一个经典的图论问题,可以使用图的最大独立集来解决。最大独立集指的是在一个无向图中选取最多的不相邻的节点。
对于这个问题,我们可以将每个人看作一个节点,如果两个人互相认识,则在它们之间连一条边。那么题目中要求的就是将这个图划分为最少的若干个独立集。
具体实现代码如下(使用了Python的networkx库):
```python
import networkx as nx
# 构造图
G = nx.Graph()
G.add_nodes_from(range(1, n+1))
for i in range(1, n+1):
for j in range(i+1, n+1):
if not recognize(i, j): # 判断是否认识
G.add_edge(i, j)
# 计算最大独立集
independent_sets = list(nx.algorithms.maximal_independent_set(G))
# 输出结果
print(len(independent_sets))
```
其中 `recognize(i, j)` 是一个判断函数,用来判断第 `i` 个人和第 `j` 个人是否认识。
旅行商问题(traveling salesman problem,tsp)有若干个城市,任何两个城市之间的距
离已知,旅行商问题(Traveling Salesman Problem,TSP)是在图论中的经典问题。它假设有若干个城市,并且每两个城市之间的距离都已知。问题的目标是找到一条路径,使得旅行商能够依次访问每个城市,并且最终回到起始城市,同时总路径长度最短。
TSP是一个NP-hard问题,意味着在一般情况下很难找到一个高效的解决算法。目前,对于TSP的求解方法主要有穷举法、贪心算法、动态规划、遗传算法等。
穷举法是一种暴力的解法,它尝试列举出所有可能的路径,并计算每条路径的总长度,最后选择其中最短的路径。这种方法适用于城市数量较少的情况,但随着城市数量的增加,计算量呈指数级增长。
贪心算法是一种局部最优策略,它从一个起始城市开始,每次选择距离最近的下一个城市作为下一个访问目标,直到遍历完所有城市。贪心算法的计算速度较快,但可能得到的结果并不一定是最优解。
动态规划是一种针对TSP的优化算法,通过利用子问题的最优解来构造整体解。它将问题分解为多个子问题,并通过递归计算子问题的最优解,最终得到整体的最优解。动态规划的时间复杂度为O(n^2*2^n)。
遗传算法是一种启发式的优化算法,它模拟自然界中的遗传进化过程。通过对路径进行交叉、变异等操作,逐步优化路径长度,最终找到近似最优解。遗传算法能够处理大规模的TSP问题,但结果通常只是近似最优解。
总之,TSP是一个经典的图论问题,已经有人提出了多种求解方法。根据问题的规模和对结果要求的不同,可以选择适用的解决算法。然而,由于TSP的复杂性,要找到真正的最优解仍然是一个挑战。