Merton跳扩散模型的解析解

Merton跳扩散模型是一种用于描述金融市场中资产价格变动的数学模型。它是基于布朗运动和泊松过程的组合来建模的，其中布朗运动用于描述连续时间内的价格变化，而泊松过程用于描述价格跳跃的发生。

Merton跳扩散模型的解析解有以下形式：

$$
\begin{aligned}
S_t &= S_0 \exp\left\{\left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma W_t + \sum_{i=1}^{N_t}\Delta X_i\right\} \\
&= S_0 \exp\left\{\left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma W_t + \sum_{i=1}^{N_t}\left(\theta - \frac{1}{2}\delta^2\right)\Delta t + \delta Z_i\sqrt{\Delta t}\right\}
\end{aligned}
$$

其中，$S_t$表示时间$t$时的资产价格；$S_0$表示初始资产价格；$\mu$表示资产价格的平均增长率；$\sigma$表示资产价格的波动率；$W_t$表示布朗运动，满足$W_t\sim N(0,t)$；$N_t$表示时间$t$内发生跳跃的次数；$\Delta X_i$表示第$i$次跳跃的大小；$\theta$表示跳跃的平均增量；$\delta$表示跳跃的波动率；$Z_i$表示跳跃的随机因素，满足$Z_i\sim N(0,1)$。

Merton跳扩散模型的解析解比较复杂，需要使用随机微积分等高级数学工具进行推导。一般来说，可以通过数值方法来求解该模型的解析解。