求四边形 ABCD 绕 P(5,4)旋转 45°的变换矩阵和端点坐标，四边形四个顶点坐标 分别为：A(4,1)，B(7,3)，C(7,7)，D(1,4)画出变换后的图形

首先将四边形 ABCD 沿着 P(5,4) 移动到原点，得到新的四边形 A'B'C'D'，其中 A'(−1,−3)，B'(2,−1)，C'(2,3)，D'(−4,0)。

然后，将 A'B'C'D' 绕原点旋转 45°，得到新的四边形 A''B''C''D''。旋转矩阵为：

$$
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$

其中，$\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$，代入得

$$
\begin{bmatrix}
\cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\
\sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
$$

因此，变换矩阵为：

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
$$

将变换矩阵应用于 A'B'C'D' 的每个顶点，得到四边形 A''B''C''D'' 的顶点坐标：

$$
\begin{aligned}
A'' &= \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \\
-3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-\frac{4\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{4\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
= (-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) \\
B'' &= \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
-1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{3\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
= (0.7, -1.1) \\
C'' &= \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{5\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
= (3.5, 0.7) \\
D'' &= \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-4 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2\sqrt{2} \\
2\sqrt{2}
\end{bmatrix}
= (-2.8, 2.8)
\end{aligned}
$$

最后，将四个顶点坐标加上移动的向量 P(5,4)，得到变换后的四边形 ABCD 的顶点坐标：

$$
\begin{aligned}
A''' &= A'' + \begin{bmatrix}
5 \\
4
\end{bmatrix}
= (-2\sqrt{2} + 5, -2\sqrt{2} + 4)
= (5 - 2\sqrt{2}, 2 - 2\sqrt{2}) \\
B''' &= B'' + \begin{bmatrix}
5 \\
4
\end{bmatrix}
= (0.7 + 5, -1.1 + 4)
= (5.7, 2.9) \\
C''' &= C'' + \begin{bmatrix}
5 \\
4
\end{bmatrix}
= (3.5 + 5, 0.7 + 4)
= (8.5, 4.7) \\
D''' &= D'' + \begin{bmatrix}
5 \\
4
\end{bmatrix}
= (-2.8 + 5, 2.8 + 4)
= (2.2, 6.8)
\end{aligned}
$$

最终变换后的四边形 ABCD 的顶点坐标为：A'''(5-2√2,2-2√2)、B'''(5.7,2.9)、C'''(8.5,4.7)、D'''(2.2,6.8)，画出变换后的图形如下：