如何理解用 Gauss消元法解线性方程组的正确性(从矩阵乘法、线性方程组的“生成”两方面来描述)

从矩阵乘法的角度来看，我们可以将线性方程组表示为一个矩阵乘法的形式。假设我们有一个线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，x和b都是n维向量。我们可以将其表示为A*x=b。如果我们能够将A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU，那么我们就可以将原方程组表示为LU*x=b，进一步得到L*y=b（其中y=U*x）。这个方程组的解可以通过先解Ly=b，再解Ux=y得到。

从线性方程组的“生成”角度来看，我们可以将线性方程组表示为一系列基本的线性运算。通过这些运算，我们可以将原方程组转化为一个上三角形式的方程组，即将A化为上三角矩阵U，同时对b进行相应的变换。这些基本的线性运算包括交换方程组中的两个方程、将一个方程乘以一个非零常数、将一个方程加到另一个方程上等等。Gauss消元法就是利用这些基本运算，将原方程组转化为上三角形式的方程组。

因此，Gauss消元法的正确性可以从两个方面来理解。从矩阵乘法的角度来看，正确性基于矩阵分解的理论，即任何一个矩阵都可以分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。从线性方程组的“生成”角度来看，正确性基于基本的线性变换的理论，即任何一个线性方程组都可以通过基本的线性变换转化为一个上三角形式的方程组。