c++分治法求斐波那契数列

分治法求解斐波那契数列的时间复杂度为 O(logn)。下面是使用 C++ 实现的代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int fibonacci(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    } else {
        int a = fibonacci(n / 2);
        int b = fibonacci(n / 2 + 1);
        if (n % 2 == 0) {
            return a * (2 * b - a);
        } else {
            return b * b + a * a;
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cout << "Enter a positive integer: ";
    cin >> n;
    cout << "The " << n << "th Fibonacci number is " << fibonacci(n) << endl;
    return 0;
}

通过递归的方式，将大问题拆分为两个规模更小的子问题，然后递归求解，最终将子问题的解合并得到原问题的解。在这个过程中，可以利用斐波那契数列的性质，将问题规模缩小到原来的一半。

相关问题

C++矩阵快速幂求斐波那契数列第n项

在C++中，矩阵快速幂是一种高效计算斐波那契数列第n项的方法。斐波那契数列定义为：F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。通过矩阵形式可以表示为：

[ F(n)   ] = [ 1 1 ]^n [ F(1) ]
[ F(n-1) ]   [ 1 0 ]   [ F(0) ]

上述矩阵的n次方可以通过快速幂算法进行高效计算。

矩阵快速幂的核心思想是利用分治法将幂的计算过程分解为更小的幂次的计算。具体步骤如下：

1. 首先定义一个矩阵，例如：

   Matrix = [ 1 1 ]
            [ 1 0 ]

2. 使用快速幂算法计算矩阵的n次方。快速幂算法通过不断地将指数n分解为二的幂次来减少乘法的次数。具体来说，对于矩阵M和指数n，可以按照以下方式递归或迭代计算M的n次方：

- 如果n为偶数，那么M^n = (M^(n/2))^2。
- 如果n为奇数，那么M^n = M * (M^(n-1))。

3. 使用初始值构造单位矩阵，然后用快速幂计算得到的结果与初始单位矩阵相乘，最终得到的矩阵左上角的元素就是斐波那契数列第n项。

下面是使用C++实现矩阵快速幂求斐波那契数列第n项的代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MOD = 1000000007; // 定义模数，用于处理大数问题

typedef vector<vector<long long>> Matrix;

// 矩阵乘法
Matrix multiply(const Matrix &a, const Matrix &b) {
    Matrix result(2, vector<long long>(2));
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
        for (int j = 0; j < 2; ++j) {
            result[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < 2; ++k) {
                result[i][j] = (result[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % MOD;
            }
        }
    }
    return result;
}

// 矩阵快速幂
Matrix quickPow(Matrix base, long long n) {
    Matrix result(2, vector<long long>(2, 1));
    while (n > 0) {
        if (n & 1) result = multiply(result, base);
        base = multiply(base, base);
        n >>= 1;
    }
    return result;
}

// 计算斐波那契数列第n项
int fibonacci(int n) {
    if (n == 0) return 0;
    Matrix base = {{1, 1}, {1, 0}};
    Matrix result = quickPow(base, n - 1);
    return result[0][0]; // 返回F(n)
}

int main() {
    int n;
    cout << "Enter the position of the Fibonacci sequence: ";
    cin >> n;
    cout << "Fibonacci number at position " << n << " is: " << fibonacci(n) << endl;
    return 0;
}

这个程序通过定义矩阵乘法和矩阵快速幂算法，计算出斐波那契数列的第n项。

请用C++实现冒泡排序、快速排序、斐波那契数列

### 回答1：
好的，这是实现冒泡排序、快速排序和斐波那契数列的C语言代码：

冒泡排序：

#include<stdio.h>
#define MAX 100

void bubbleSort(int arr[], int n)
{
    int i, j, temp;
    for(i=0; i<n-1; i++)
    {
        for(j=0; j<n-i-1; j++)
        {
            if(arr[j] > arr[j+1])
            {
                temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j+1];
                arr[j+1] = temp;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int arr[MAX], n, i;
    printf("Enter the number of elements: ");
    scanf("%d", &n);
    printf("Enter the elements: ");
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    bubbleSort(arr, n);
    printf("Sorted array: ");
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    return 0;
}

快速排序：

#include<stdio.h>
#define MAX 100

int partition(int arr[], int low, int high)
{
    int pivot = arr[high];
    int i = (low-1);
    int j, temp;
    for(j=low; j<=high-1; j++)
    {
        if(arr[j] <= pivot)
        {
            i++;
            temp = arr[i];
            arr[i] = arr[j];
            arr[j] = temp;
        }
    }
    temp = arr[i+1];
    arr[i+1] = arr[high];
    arr[high] = temp;
    return (i+1);
}

void quickSort(int arr[], int low, int high)
{
    if(low < high)
    {
        int pi = partition(arr, low, high);
        quickSort(arr, low, pi-1);
        quickSort(arr, pi+1, high);
    }
}

int main()
{
    int arr[MAX], n, i;
    printf("Enter the number of elements: ");
    scanf("%d", &n);
    printf("Enter the elements: ");
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    quickSort(arr, 0, n-1);
    printf("Sorted array: ");
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    return  

### 回答2：
冒泡排序是一种简单的排序算法，可以按照从小到大或者从大到小的顺序将一个数组排序。算法的基本思想是将相邻的元素进行比较，如果顺序不对则进行交换，每一轮遍历可以确保一个元素位于正确的位置上。重复这个过程直至整个数组排序完成。以下是用C语言实现冒泡排序的代码：

#include <stdio.h>

void bubbleSort(int arr[], int n) {
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
if (arr[j] > arr[j+1]) {
int temp = arr[j];
arr[j] = arr[j+1];
arr[j+1] = temp;
}
}
}
}

int main() {
int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
bubbleSort(arr, n);
printf("排序后的数组：");
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
return 0;
}

快速排序是一种常用的排序算法，其基本原理是选择一个基准元素，将比基准元素小的放在左边，比基准元素大的放在右边，然后对左右两个子序列进行递归排序。以下是用C语言实现快速排序的代码：

#include <stdio.h>

int partition(int arr[], int low, int high) {
int pivot = arr[high];
int i = low - 1;

for (int j = low; j < high; j++) {
if (arr[j] < pivot) {
i++;
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
}

int temp = arr[i+1];
arr[i+1] = arr[high];
arr[high] = temp;

return i + 1;
}

void quickSort(int arr[], int low, int high) {
if (low < high) {
int pi = partition(arr, low, high);

quickSort(arr, low, pi - 1);
quickSort(arr, pi + 1, high);
}
}

int main() {
int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
quickSort(arr, 0, n-1);
printf("排序后的数组：");
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d ", arr[i]);
}
return 0;
}

斐波那契数列是一个数列，其中每个数字都是前两个数字的和。以下是用C语言实现斐波那契数列的代码：

#include <stdio.h>

int fibonacci(int n) {
if (n <= 1)
return n;
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}

int main() {
int n = 10;
printf("斐波那契数列前 %d 项：", n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d ", fibonacci(i));
}
return 0;
}

### 回答3：
冒泡排序是一种简单的排序算法，它通过比较和交换相邻元素来逐渐将最大（或最小）的元素冒泡到数组的末尾。以下是使用C语言实现冒泡排序的代码示例：

#include <stdio.h>

void bubbleSort(int arr[], int n) {
int i, j;
for (i = 0; i < n-1; i++) {
for (j = 0; j < n-i-1; j++) {
if (arr[j] > arr[j+1]) {
int temp = arr[j];
arr[j] = arr[j+1];
arr[j+1] = temp;
}
}
}
}

int main() {
int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
bubbleSort(arr, n);
printf("排序后的数组：");
for (int i=0; i < n; i++)
printf("%d ", arr[i]);
return 0;
}

快速排序是一种基于分治法的排序算法，通过选择一个基准元素，将数组划分为两个子数组，并对子数组分别进行排序。以下是使用C语言实现快速排序的代码示例：

#include <stdio.h>

void swap(int* a, int* b) {
int t = *a;
*a = *b;
*b = t;
}

int partition(int arr[], int low, int high) {
int pivot = arr[high];
int i = low - 1;

for (int j = low; j <= high - 1; j++) {
if (arr[j] < pivot) {
i++;
swap(&arr[i], &arr[j]);
}
}
swap(&arr[i + 1], &arr[high]);
return (i + 1);
}

void quickSort(int arr[], int low, int high) {
if (low < high) {
int pi = partition(arr, low, high);
quickSort(arr, low, pi - 1);
quickSort(arr, pi + 1, high);
}
}

int main() {
int arr[] = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
quickSort(arr, 0, n-1);
printf("排序后的数组：");
for (int i=0; i < n; i++)
printf("%d ", arr[i]);
return 0;
}

斐波那契数列是一种常见的数列，其中每个数字都是前两个数字的和。以下是使用C语言实现斐波那契数列的代码示例：

#include <stdio.h>

int fibonacci(int n) {
if (n <= 1)
return n;
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}

int main() {
int n = 10;
printf("斐波那契数列前 %d 项：", n);
for (int i = 0; i < n; i++)
printf("%d ", fibonacci(i));
return 0;
}

以上便是分别使用C语言实现冒泡排序、快速排序和斐波那契数列的代码示例。