Matlab求解无限区间带奇点的柯西中值积分

柯西中值定理是一个非常有用的定理，它描述了解析函数在复平面内的某个路径上的积分与函数在路径内某个点的函数值之间的关系。对于带奇点的无限区间路径，我们需要使用柯西中值定理的一个变体来进行计算。

设 $f(z)$ 在复平面上除了 $n$ 个孤立奇点外都解析，其中 $n$ 是一个正整数，$C_R$ 是以原点为中心，半径为 $R$ 的圆周，且圆周上有一个孤立奇点 $z_0$。则对于 $R > |z_0|$，有：

$$\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=2\pi i\sum_{k=1}^n Res_{z=z_k}f(z)$$

其中 $Res_{z=z_k}f(z)$ 表示 $f(z)$ 在 $z_k$ 处的留数。

对于无穷远点为奇点的情况，我们需要对积分路径进行选取，一般可以选取一个半径为 $R$ 的半圆弧加上一条直线，将积分路径转化为有限区间的路径，然后再利用柯西中值定理进行计算。

具体地，我们可以选取积分路径 $C$ 如下所示：


其中 $C_R$ 是以原点为中心，半径为 $R$ 的圆周，$L_R$ 是连接圆周上两个与实轴的交点的直线，$C_\epsilon$ 是以原点为中心，半径为 $\epsilon$ 的圆周，$L_\epsilon$ 是连接圆周上两个与实轴的交点的直线，且所有路径均按逆时针方向取定。

然后我们利用柯西中值定理，得到：

$$\begin{aligned}&\int_Cf(z)\mathrm{d}z\\=&\int_{C_R}f(z)\mathrm{d}z+\int_{L_R}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z+\int_{L_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z\\=&2\pi i\sum_{k=1}^n Res_{z=z_k}f(z)+\int_{L_R}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z+\int_{L_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z\end{aligned}$$

当 $R \rightarrow \infty$ 且 $\epsilon \rightarrow 0$ 时，$\int_{L_R}f(z)\mathrm{d}z$ 和 $\int_{L_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z$ 的贡献可以被忽略不计，因为 $f(z)$ 在实轴上的增长速度不能超过 $1/R$ 或 $1/\epsilon$，所以它们的积分值会趋于 $0$。而 $\int_{C_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z$ 的积分值可以用洛必达法则来计算。于是我们得到：

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x=2\pi i\sum_{k=1}^n Res_{z=z_k}f(z)-\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z$$

其中，$\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{C_\epsilon}f(z)\mathrm{d}z$ 可以用数值方法计算，例如辛普森积分法等。