基追踪问题的增广拉格朗日函数法

基于追踪问题的增广拉格朗日函数法（Augmented Lagrangian Method for Tracking Problem）是一种优化算法，用于解决带有约束条件的非线性最小二乘问题。其主要思想是将原问题转化成无约束问题，并通过增加拉格朗日乘子项来约束原问题的可行性。

具体来说，给定一个目标函数 $f(x)$ 和一组约束条件 $g_i(x) \leq 0$，我们希望求解以下最小化问题：

$$\min_{x} f(x) \quad \text{s.t.} \quad g_i(x) \leq 0, \quad i=1,2,\ldots,m$$

为了将约束条件纳入目标函数中，我们可以使用拉格朗日乘子法，将原问题转化为以下形式：

$$\min_{x} \max_{\lambda \geq 0} L(x,\lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(x)$$

其中，$\lambda_i$ 是拉格朗日乘子，用于约束条件的可行性。然而，直接求解上述问题并不容易，因为它既包含了无约束问题，又包含了约束条件。因此，我们可以采用增广拉格朗日函数法，通过增加惩罚项来实现约束条件的可行性。

具体来说，我们可以将目标函数修改为以下形式：

$$\min_{x} L(x,\lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \frac{\rho}{2} \max(0,g_i(x))^2 - \sum_{i=1}^{m} \frac{\rho}{2} g_i^2(x)$$

其中，$\rho$ 是一个正常数，用于控制惩罚项的大小。这个惩罚项可以保证 $g_i(x) \leq 0$，同时也保证了 $g_i(x) = 0$ 时的可行性。然后，我们可以通过优化增广拉格朗日函数来求解原问题，具体来说，可以采用交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）等算法进行求解。