基追踪问题的增广拉格朗日函数法python

以下是基于增广拉格朗日函数的 Python 代码实现，用于求解约束优化问题：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def augmented_lagrangian(fun, x0, eq_cons=[], ineq_cons=[], args=(), bounds=None, maxiter=100, rho=1, epsilon=1e-4):
    """
    基于增广拉格朗日函数的约束优化求解器

    Args:
        fun: 目标函数
        x0: 初始解
        eq_cons: 等式约束函数列表
        ineq_cons: 不等式约束函数列表
        args: 传递给目标函数和约束函数的参数元组
        bounds: 变量边界
        maxiter: 最大迭代次数
        rho: 拉格朗日乘子更新系数
        epsilon: 更新精度

    Returns:
        res: 求解结果对象
    """
    # 定义拉格朗日乘子更新函数
    def update_lambda(lambda_, eq, ineq, rho):
        lambda_new = lambda_ + rho * (eq + ineq)
        lambda_new[lambda_new < 0] = 0
        return lambda_new

    # 定义增广拉格朗日函数
    def augmented_fun(x, lambda_, rho):
        f = fun(x, *args)

        eq = np.array([c(x, *args) for c in eq_cons])
        ineq = np.array([max(0, c(x, *args)) for c in ineq_cons])

        lagrange_term = np.dot(lambda_, eq + ineq)
        penalty_term = rho * np.sum(ineq ** 2)
        return f + lagrange_term + penalty_term

    # 计算约束函数个数
    n_eq = len(eq_cons)
    n_ineq = len(ineq_cons)

    # 初始化拉格朗日乘子和罚因子
    lambda_ = np.zeros(n_eq + n_ineq)
    rho_ = rho

    # 迭代求解
    for i in range(maxiter):
        # 定义增广拉格朗日函数
        aug_fun = lambda x: augmented_fun(x, lambda_, rho_)

        # 定义约束条件
        constraints = []
        if bounds:
            constraints.append({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: bounds[:, 0] - x})
            constraints.append({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x - bounds[:, 1]})
        if eq_cons:
            constraints.append({'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.array([c(x, *args) for c in eq_cons])})
        if ineq_cons:
            constraints.append({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: np.array([c(x, *args) for c in ineq_cons])})

        # 求解无约束问题
        res = minimize(aug_fun, x0, method='BFGS', jac=False, constraints=constraints)

        # 更新拉格朗日乘子和罚因子
        lambda_new = update_lambda(lambda_, np.array([c(res.x, *args) for c in eq_cons]), np.array([max(0, c(res.x, *args)) for c in ineq_cons]), rho_)
        rho_ *= 2 if np.sum(lambda_new != 0) == n_eq + n_ineq else 0.5
        lambda_ = lambda_new

        # 判断是否满足精度要求
        if np.linalg.norm(np.array([c(res.x, *args) for c in eq_cons]) + np.array([max(0, c(res.x, *args)) for c in ineq_cons])) < epsilon:
            break

    return res

使用示例：

# 定义目标函数和约束函数
def fun(x, a, b):
    return (x[0] - a) ** 2 + (x[1] - b) ** 2

def eq_cons(x):
    return np.array([x[0] + x[1] - 1])

def ineq_cons(x):
    return np.array([x[0], x[1]])

# 设置初始解和变量边界
x0 = np.array([0.5, 0.5])
bounds = np.array([[0, 1], [0, 1]])

# 求解优化问题
res = augmented_lagrangian(fun, x0, eq_cons=[eq_cons], ineq_cons=[ineq_cons], args=(1, 2), bounds=bounds)
print(res)

其中，目标函数为 $(x_1-a)^2+(x_2-b)^2$，等式约束为 $x_1+x_2=1$，不等式约束为 $x_1 \ge 0$ 和 $x_2 \ge 0$。