用一个边长10厘米的正方体容器，在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃（1）建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴周围空气中的湿度变化规律。

首先，我们需要了解一些基本概念和公式：

1. 相对湿度（RH）：表示空气中所含水蒸气的实际含量与当前温度下可能饱和所含水蒸气的最大含量之比，通常用百分数表示。

2. 饱和水蒸气压（SVP）：表示在特定温度下，空气中水蒸气达到饱和时所对应的水蒸气压力。

3. 动态平衡：在一个封闭系统中，不同物质之间的质量传递和反应达到平衡状态。

根据以上基本概念，我们可以建立如下数学模型：

1. 由于容器是密闭的，水蒸气无法逸出，因此在初始状态下，整个容器内的相对湿度为100%。

2. 随着时间的推移，水滴开始蒸发，水蒸气逐渐充满整个容器，直到达到动态平衡状态。

3. 在动态平衡状态下，空气中所含水蒸气的实际含量等于当前温度下可能饱和所含水蒸气的最大含量，即相对湿度为100%。

4. 根据饱和水蒸气压公式（SVP）可以计算出不同温度下的饱和水蒸气压力，从而计算出相对湿度。

5. 根据以上模型，可以建立一个微分方程组，描述水滴周围空气中的湿度变化规律。

具体的微分方程组如下：

$$\frac{dV}{dt}=k(SVP-RH)S$$

$$\frac{dRH}{dt}=\frac{k}{V}(SVP-RH)S$$

其中，$V$表示容器内的体积，$S$表示水滴表面积，$RH$表示相对湿度，$SVP$表示饱和水蒸气压力，$k$为常数，表示蒸发速率与环境温度、水滴表面积和水蒸气压力的函数。

这个微分方程组可以用数值解法求解，得出水滴周围空气中湿度随时间的变化规律。

相关问题

实验采用一个边长10厘米的正方体容器，在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴表面温度的变化规律。

首先，我们需要列出热传导方程来描述水滴表面温度的变化规律：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho c_p} \nabla^2 T$$

其中，$T$ 是水滴表面的温度，$t$ 是时间，$\kappa$ 是热导率，$\rho$ 是密度，$c_p$ 是比热容，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子。

由于这是一个正方体容器，我们可以采用直角坐标系，设容器底面为 $xy$ 平面，$z$ 轴垂直于底面向上，那么拉普拉斯算子可以表示为：

$$\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$$

由于问题是关于水滴表面温度的变化规律，我们只需要考虑水滴的表面温度，忽略水滴内部的温度分布。因此，我们可以将问题简化为二维，即只考虑 $xy$ 平面内的温度分布，并且假设温度沿 $z$ 轴方向上是均匀的。这样，热传导方程可以简化为：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho c_p} \left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$

接下来，我们需要考虑边界条件。由于容器是密闭的，水滴表面的温度可以视为恒定不变的，即：

$$T|_{z=0} = T_0$$

其中，$T_0$ 是水滴表面的初始温度。

另外，我们还需要考虑容器的初始温度分布。由于环境温度控制在20℃，我们可以假设整个容器内部的温度分布都是20℃，即：

$$T|_{t=0} = 20^\circ C$$

最后，我们需要考虑水滴蒸发的过程。由于水滴表面的温度高于环境温度，水分会从水滴表面蒸发出去，因此水滴的体积会逐渐减小。假设水滴的体积为 $V(t)$，初始时 $V(0)$ 为水滴的体积，那么水滴体积的变化率可以表示为：

$$\frac{dV}{dt} = -kS(T-T_e)$$

其中，$S$ 是水滴表面积，$k$ 是蒸发系数，$T_e$ 是环境温度，$T$ 是水滴表面温度。这个方程描述了水滴体积随时间的变化规律。

综上，我们可以建立如下数学模型：

$$\begin{cases}
\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho c_p} \left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right) & (x,y) \in \Omega, t > 0 \\
T|_{z=0} = T_0 & (x,y) \in \partial\Omega, t > 0 \\
T|_{t=0} = 20^\circ C & (x,y) \in \Omega \\
\frac{dV}{dt} = -kS(T-T_e) & t > 0
\end{cases}$$

其中，$\Omega$ 表示容器内部的区域，$\partial\Omega$ 表示容器内部的边界，$S$ 可以表示为 $S=6L^2$，其中 $L$ 为正方体容器的边长。

实验采用一个边长10厘米的正方体容器,在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。建立数学模型,描述一个密闭容器中的水滴蒸发过程,回答下列问题: (1)建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全

蒸发的过程。

我们可以采用质量守恒的原理，假设水滴开始时质量为 $m_0$，最后完全蒸发时质量为 $m_1=0$。在任意时刻 $t$，设水滴内部温度为 $T_w(t)$，容器内部温度为 $T_a(t)$，水滴表面温度为 $T_s(t)$。假设水滴和容器内部的空气达到热平衡，可以用牛顿冷却定律描述水滴表面温度的变化：

$$
\frac{dT_s}{dt} = h(T_a - T_s)
$$

其中 $h$ 是传热系数，可以根据实验数据或理论公式计算得到。我们还需要考虑水滴内部的水分向表面的扩散，可以用菲克定律描述：

$$
\frac{dm}{dt} = -DA\frac{dC}{dz}
$$

其中 $m$ 是水滴质量，$D$ 是水的扩散系数，$A$ 是水滴表面积，$C$ 是水分的浓度，$z$ 是距离水滴表面的距离。为了简化模型，我们假设水分浓度在水滴内部均匀，即 $C=C_0$。因此：

$$
\frac{dm}{dt} = -DA\frac{C_0}{r}
$$

其中 $r$ 是水滴半径。结合质量守恒，我们得到：

$$
\frac{d m}{dt} = -\frac{4}{3}\pi r^3\rho_w\frac{d r}{dt}
$$

其中 $\rho_w$ 是水的密度。将上述三个式子联立，整理得到：

$$
\frac{d r}{dt} = -\frac{hA}{\rho_w}\frac{(r-r_s)^2}{r^3}
$$

其中 $r_s$ 是饱和水蒸气压下水滴半径，可以根据温度计算得到。这是一个一阶非线性微分方程，可以用数值方法求解。最终水滴完全蒸发的时间可以根据模型求出。

（2）如果现在在容器顶部开一个小孔，会对水滴蒸发过程有何影响？

如果在容器顶部开一个小孔，水滴内部的水分就可以通过小孔逸出，从而缩短水滴蒸发的时间。这时需要对上述模型进行修正，考虑水分通过小孔逸出的速度。假设小孔非常小，可以认为水分通过小孔的速度与水分在水滴内部扩散的速度相同，即：

$$
\frac{dm}{dt} = -DA\frac{C_0}{r} - Sv
$$

其中 $S$ 是小孔的面积，$v$ 是水分通过小孔的速度。其他部分的模型与之前相同。