一滴水滴到器皿的表面，它会吸收环境中的热量发生蒸发。由于液体中的分子都在不停的作无规律的运动，它们平均动能的大小跟液体的温度相适应。在任何时刻总有一些分子具有比平均动能还大的动能，如果它们位于液体的表面，其动能大于飞出时克服液体分子间的引力所需要的功时，这些分子就能脱离液体表面向外飞出，变成这种液体的汽。飞出去的分子有可能和其他分子碰撞又返回液体表面或内部。如果飞出去的分子多于飞回来的分子，液体就在蒸发。 随着水温的增加，水分子的运动速度加快，从而逸出液体表面的分子数量增加。水面上方空气的湿度增加，其中的水汽分子数量增加，饱和水气压力差减小。水面与大气的水汽压差越小，水分子由水面逸出的速度越慢。风能加强空气的对流和交换，使水面上方的水汽分子不断被带走，使得蒸发持续进行。 实验采用一个边长10厘米的正方体容器，在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。建立数学模型，描述一个密闭容器中的水滴蒸发过程，回答下列问题： （1）建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴周围空气中的湿度变化规律。 （2）建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴体积的变化规律。 （3）建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴表面温度的变化规律。 （4）如果环境温度控制在25℃，上述（1-3）中的规律会如何变化？

假设水滴初始体积为$V_0$，温度为$T_0$，环境温度为$T_a$，环境相对湿度为$RH$。设蒸发速率$k$与温度$T$和相对湿度$RH$有关，即$k=k(T,RH)$。

(1) 由于容器是密闭的，水滴周围的相对湿度$RH$与水滴蒸发过程中的水汽压力有关。假设蒸发的水分子立即被空气吸收，根据饱和水汽压力公式，可以得到：

$RH=\frac{P_{water}}{P_{sat}}=\frac{P_{water}}{P_{sat}(T_a)}$，

其中，$P_{water}$是水蒸气的压强，$P_{sat}(T_a)$是环境温度下的饱和水汽压力。因此，随着时间的推移，水滴周围的相对湿度$RH$会逐渐增大，直到达到100%。

(2) 水滴蒸发时，其体积会逐渐减小。设$t$时刻水滴的体积为$V(t)$，则有：

$\frac{dV}{dt}=-k(T_0,RH)V(t)$

解上式可以得到：

$V(t)=V_0e^{-k(T_0,RH)t}$

因此，随着时间的推移，水滴的体积会逐渐减小，最终蒸发殆尽。

(3) 水滴表面温度的变化主要受到蒸发过程中吸收的热量和散失的热量的影响。由于水滴体积变小，因此吸收的热量也会逐渐减小，而散失的热量与水滴表面积有关，因此随着水滴体积的减小，散失的热量也会逐渐减小。因此，水滴表面温度会逐渐降低，直到水滴完全蒸发。

(4) 如果环境温度升高到25℃，水滴周围相对湿度$RH$会逐渐降低，因为在相同的水汽压力下，饱和水汽压力会随着温度升高而增大。因此，水滴的蒸发速率$k$也会随着温度的升高而增大，导致水滴的蒸发速度加快，蒸发时间缩短，水滴的表面温度升高。