实验采用一个边长10厘米的正方体容器，在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴表面温度的变化规律。

首先，我们需要列出热传导方程来描述水滴表面温度的变化规律：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho c_p} \nabla^2 T$$

其中，$T$ 是水滴表面的温度，$t$ 是时间，$\kappa$ 是热导率，$\rho$ 是密度，$c_p$ 是比热容，$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子。

由于这是一个正方体容器，我们可以采用直角坐标系，设容器底面为 $xy$ 平面，$z$ 轴垂直于底面向上，那么拉普拉斯算子可以表示为：

$$\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$$

由于问题是关于水滴表面温度的变化规律，我们只需要考虑水滴的表面温度，忽略水滴内部的温度分布。因此，我们可以将问题简化为二维，即只考虑 $xy$ 平面内的温度分布，并且假设温度沿 $z$ 轴方向上是均匀的。这样，热传导方程可以简化为：

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho c_p} \left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$

接下来，我们需要考虑边界条件。由于容器是密闭的，水滴表面的温度可以视为恒定不变的，即：

$$T|_{z=0} = T_0$$

其中，$T_0$ 是水滴表面的初始温度。

另外，我们还需要考虑容器的初始温度分布。由于环境温度控制在20℃，我们可以假设整个容器内部的温度分布都是20℃，即：

$$T|_{t=0} = 20^\circ C$$

最后，我们需要考虑水滴蒸发的过程。由于水滴表面的温度高于环境温度，水分会从水滴表面蒸发出去，因此水滴的体积会逐渐减小。假设水滴的体积为 $V(t)$，初始时 $V(0)$ 为水滴的体积，那么水滴体积的变化率可以表示为：

$$\frac{dV}{dt} = -kS(T-T_e)$$

其中，$S$ 是水滴表面积，$k$ 是蒸发系数，$T_e$ 是环境温度，$T$ 是水滴表面温度。这个方程描述了水滴体积随时间的变化规律。

综上，我们可以建立如下数学模型：

$$\begin{cases}
\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\kappa}{\rho c_p} \left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right) & (x,y) \in \Omega, t > 0 \\
T|_{z=0} = T_0 & (x,y) \in \partial\Omega, t > 0 \\
T|_{t=0} = 20^\circ C & (x,y) \in \Omega \\
\frac{dV}{dt} = -kS(T-T_e) & t > 0
\end{cases}$$

其中，$\Omega$ 表示容器内部的区域，$\partial\Omega$ 表示容器内部的边界，$S$ 可以表示为 $S=6L^2$，其中 $L$ 为正方体容器的边长。