实验采用一个边长10厘米的正方体容器,在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。建立数学模型,描述一个密闭容器中的水滴蒸发过程,回答下列问题: (1)建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全

蒸发的过程。

我们可以采用质量守恒的原理，假设水滴开始时质量为 $m_0$，最后完全蒸发时质量为 $m_1=0$。在任意时刻 $t$，设水滴内部温度为 $T_w(t)$，容器内部温度为 $T_a(t)$，水滴表面温度为 $T_s(t)$。假设水滴和容器内部的空气达到热平衡，可以用牛顿冷却定律描述水滴表面温度的变化：

$$
\frac{dT_s}{dt} = h(T_a - T_s)
$$

其中 $h$ 是传热系数，可以根据实验数据或理论公式计算得到。我们还需要考虑水滴内部的水分向表面的扩散，可以用菲克定律描述：

$$
\frac{dm}{dt} = -DA\frac{dC}{dz}
$$

其中 $m$ 是水滴质量，$D$ 是水的扩散系数，$A$ 是水滴表面积，$C$ 是水分的浓度，$z$ 是距离水滴表面的距离。为了简化模型，我们假设水分浓度在水滴内部均匀，即 $C=C_0$。因此：

$$
\frac{dm}{dt} = -DA\frac{C_0}{r}
$$

其中 $r$ 是水滴半径。结合质量守恒，我们得到：

$$
\frac{d m}{dt} = -\frac{4}{3}\pi r^3\rho_w\frac{d r}{dt}
$$

其中 $\rho_w$ 是水的密度。将上述三个式子联立，整理得到：

$$
\frac{d r}{dt} = -\frac{hA}{\rho_w}\frac{(r-r_s)^2}{r^3}
$$

其中 $r_s$ 是饱和水蒸气压下水滴半径，可以根据温度计算得到。这是一个一阶非线性微分方程，可以用数值方法求解。最终水滴完全蒸发的时间可以根据模型求出。

（2）如果现在在容器顶部开一个小孔，会对水滴蒸发过程有何影响？

如果在容器顶部开一个小孔，水滴内部的水分就可以通过小孔逸出，从而缩短水滴蒸发的时间。这时需要对上述模型进行修正，考虑水分通过小孔逸出的速度。假设小孔非常小，可以认为水分通过小孔的速度与水分在水滴内部扩散的速度相同，即：

$$
\frac{dm}{dt} = -DA\frac{C_0}{r} - Sv
$$

其中 $S$ 是小孔的面积，$v$ 是水分通过小孔的速度。其他部分的模型与之前相同。