建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴 体积的变化规律

假设一个水滴半径为$r$，初始高度为$h$，容器半径为$R$，容器高度为$H$，环境温度为$T$，水滴表面蒸发速率为$k$，且忽略水滴与容器壁之间的相互作用。

首先，我们可以得到水滴的初始体积$V_0=\frac{4}{3}\pi r^3$。在水滴与容器壁之间没有相互作用的情况下，水滴在空气中蒸发的速率可以表示为：

$$\frac{dV}{dt}=-kS$$

其中，$S$为水滴表面积。由于水滴是一个球体，其表面积可以表示为$S=4\pi r^2$。因此，

$$\frac{dV}{dt}=-4k\pi r^2$$

又因为$V=\frac{4}{3}\pi r^3$，所以

$$\frac{dV}{dt}=\frac{4}{3}\pi(3r^2\frac{dr}{dt})$$

将上述两个式子相等，即可得到水滴半径随时间的变化规律：

$$\frac{dr}{dt}=-k\frac{3}{4}r$$

解这个微分方程，得到：

$$r(t)=r_0e^{-\frac{3}{4}kt}$$

其中，$r_0$是水滴半径的初始值。

根据水滴半径随时间的变化规律，我们可以得到水滴体积随时间的变化规律：

$$V(t)=\frac{4}{3}\pi r^3=r_0^3e^{-\frac{9}{4}kt}$$

当水滴完全蒸发时，其体积为0，即$V(t)=0$。解这个方程，可以得到水滴完全蒸发所需要的时间：

$$t_{evap}=\frac{4}{9k}\ln\frac{r_0^3}{V_f}$$

其中，$V_f$是容器底部的液体体积，可以根据容器的形状和水深来计算。

因此，我们可以根据上述数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴体积的变化规律。