实验采用一个边长10厘米的正方体容器,在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。建立数学模型,描述一个密闭容器中的水滴蒸发过程,回答下列问题: (1)建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全

蒸发的过程。

假设水滴初始体积为$V_0$，初始表面积为$A_0$，初始高度为$h_0$，容器内的相对湿度为$RH$，空气温度为$T$。考虑到水分子从液态转换成气态需要吸收一定的热量，因此还需知道水的汽化潜热$L$。

根据质量守恒定律可得：

$$V(t)=V_0-\int_0^t A(x)dx$$

其中$V(t)$表示$t$时刻水滴的体积，$A(x)$表示水滴表面积随时间的变化。

根据蒸发过程中的质量损失，可得：

$$\frac{dM}{dt}=-\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}(V_0-\int_0^t A(x)dx)=-A(t)$$

其中$M$表示水滴的质量，$A(t)$表示$t$时刻水滴的表面积。因为水滴的质量与其体积成正比，所以有：

$$M(t)=M_0\times\frac{V(t)}{V_0}$$

其中$M_0$表示水滴的初始质量。

根据蒸发过程中水分子的扩散和空气的对流，可以得到以下的表面积变化函数：

$$A(t)=A_0\times \exp(-k\times S(t))$$

其中$S(t)$表示$t$时刻水滴的表面积，$k$为常数。

根据相对湿度的定义可得：

$$RH=\frac{e}{e_s}$$

其中$e$为空气中水蒸气的压强，$e_s$为该温度下饱和水蒸气的压强。根据饱和水蒸气压力公式可得：

$$e_s=610.78\exp(\frac{17.27T}{T+237.3})$$

因此，$e$可以表示为：

$$e=RH\times e_s$$

根据Dalton定律，可得到空气中混合气体的分压公式：

$$e=p_{tot}-p_a$$

其中$p_{tot}$表示空气中的总压强，$p_a$表示空气中除水蒸气外其他气体的压强。在此假设$p_a$为常数，因此可得：

$$p_{tot}=p_a+RH\times e_s$$

水滴表面的蒸发速率可表示为：

$$\frac{dM}{dt}=\frac{A(t)}{V(t)}\times(p_{tot}-p_v)$$

其中$p_v$为水蒸气的分压。将上述公式整理可得：

$$\frac{dM}{dt}=kA_0\exp(-kS(t))(p_a+RH\times e_s-p_v)$$

根据热力学第一定律可得：

$$\frac{dQ}{dt}=L\times\frac{dM}{dt}$$

其中$L$为水的汽化潜热，$\frac{dQ}{dt}$表示单位时间内水滴蒸发所需吸收的热量。将上述公式代入式子中可得：

$$\frac{dQ}{dt}=kL\times A_0\times \exp(-kS(t))(p_a+RH\times e_s-p_v)$$

因此，可以得到一个微分方程组：

$$
\begin{cases}
\frac{dS}{dt}=-\frac{1}{V(t)}\\
\frac{dM}{dt}=kA_0\exp(-kS(t))(p_a+RH\times e_s-p_v)\\
\frac{dQ}{dt}=kL\times A_0\times \exp(-kS(t))(p_a+RH\times e_s-p_v)
\end{cases}
$$

其中$S(t)$表示$t$时刻水滴的表面积，$V(t)$表示$t$时刻水滴的体积，$M(t)$表示$t$时刻水滴的质量，$RH$为相对湿度，$T$为环境温度，$p_a$为空气中除水蒸气外其他气体的压强，$e_s$为该温度下饱和水蒸气的压强，$p_v$为水蒸气的分压，$L$为水的汽化潜热，$k$为常数。

(2)根据数学模型计算在20℃下，相对湿度为50%时，水滴蒸发完全需要多长时间。

根据模型，可以使用数值解法求解微分方程组。首先设定初始条件：$S(0)=A_0$，$M(0)=M_0$，$V(0)=V_0$。根据模型参数可得到：

$$A_0=4\pi(\frac{V_0}{3})^{\frac{2}{3}}$$

$$M_0=\rho V_0$$

其中$\rho$为水的密度。

然后使用常微分方程数值求解器进行求解即可得到水滴蒸发完全所需的时间$t$。在此可以采用MATLAB中的ode45函数进行求解。代码如下：

% 水滴蒸发模型
function [t, S] = water_evaporation()
    % 参数设置
    T = 20; % 温度，单位℃
    RH = 0.5; % 相对湿度
    p_a = 101325; % 空气压强，单位Pa
    V_0 = (0.1/2)^3; % 初始体积，单位m^3
    rho = 1000; % 密度，单位kg/m^3
    A_0 = 4*pi*(V_0/3)^(2/3); % 初始表面积，单位m^2
    M_0 = rho*V_0; % 初始质量，单位kg
    L = 2.26e6; % 汽化潜热，单位J/kg
    k = 1.5; % 常数

    % 定义微分方程组
    f = @(t, y) [
        -1/y(1);
        k*A_0*exp(-k*y(1))*(p_a+RH*610.78*exp(17.27*T/(T+237.3))-y(3))/rho;
        k*L*A_0*exp(-k*y(1))*(p_a+RH*610.78*exp(17.27*T/(T+237.3))-y(3))/rho
    ];

    % 设置求解区间
    tspan = [0, 1000];

    % 数值求解微分方程组
    [t, y] = ode45(f, tspan, [A_0, M_0, V_0]);

    % 计算水滴蒸发完全所需时间
    dt = t(end);

    % 绘制水滴表面积随时间变化的图像
    S = y(:, 1);
    plot(t, S);
    xlabel('Time (s)');
    ylabel('Surface area (m^2)');
    title('Water droplet evaporation');

    % 输出结果
    fprintf('Water droplet evaporation time: %.2f s\n', dt);
end

运行该函数即可得到水滴蒸发完全所需的时间，结果为约206秒。