一滴水滴到器皿的表面，它会吸收环境中的热量发生蒸发。由于液体中的分子都在不停的作无规律的运动，它们平均动能的大小跟液体的温度相适应。在任何时刻总有一些分子具有比平均动能还大的动能，如果它们位于液体的表面，其动能大于飞出时克服液体分子间的引力所需要的功时，这些分子就能脱离液体表面向外飞出，变成这种液体的汽。飞出去的分子有可能和其他分子碰撞又返回液体表面或内部。如果飞出去的分子多于飞回来的分子，液体就在蒸发。 随着水温的增加，水分子的运动速度加快，从而逸出液体表面的分子数量增加。水面上方空气的湿度增加，其中的水汽分子数量增加，饱和水气压力差减小。水面与大气的水汽压差越小，水分子由水面逸出的速度越慢。风能加强空气的对流和交换，使水面上方的水汽分子不断被带走，使得蒸发持续进行。 实验采用一个边长10厘米的正方体容器，在其下底面滴入一滴纯净水后密闭。环境温度控制在20℃。用MATLAB建立数学模型，描述一个密闭容器中的水滴蒸发过程，回答下列问题： 建立数学模型描述从水滴落入容器开始到最后完全蒸发各个时刻水滴体积的变化规律。

假设水滴在容器内的蒸发是均匀的，且忽略水滴的表面张力等影响因素，可以假设水滴的蒸发速率与水滴表面积成正比，与水滴体积成反比。因此，可以建立如下的微分方程模型：

$$\frac{dV}{dt} = -kS$$

其中，$V$表示水滴体积，$S$表示水滴表面积，$k$为比例常数，表示单位表面积的蒸发速率。

由于是在密闭容器内，水蒸气无法逸出，因此容器内的水蒸气压将随着水的蒸发而增加。当水蒸气压力等于饱和水蒸气压力时，水滴将不再蒸发，即水滴的体积不再减小。因此，可以将微分方程的右侧改写为：

$$\frac{dV}{dt} = -kS(V)(P_{sat} - P)$$

其中，$P_{sat}$表示水的饱和蒸气压力，$P$表示容器内的水蒸气压力。

根据几何关系，水滴的体积和表面积的关系为：

$$V = \frac{\pi}{6}h^3$$

$$S = \pi h^2$$

将上述两个式子带入微分方程中得到：

$$\frac{dh}{dt} = -\frac{k}{2}(P_{sat} - P)h$$

该微分方程可以通过分离变量法求解，得到：

$$h(t) = h_0e^{-\frac{k}{2}(P_{sat} - P)t}$$

其中，$h_0$表示水滴在容器内初始时的高度。

由于水滴的体积与高度的关系为$V = \frac{\pi}{6}h^3$，因此可以得到水滴的体积随时间的变化规律：

$$V(t) = \frac{\pi}{6}h_0^3e^{-\frac{3k}{2}(P_{sat} - P)t}$$

当$P = P_{sat}$时，水滴的体积不再减小，即水滴完全蒸发。