Sigmoid 函数、Tanh 和 ReLU 函数

### 回答1：

Sigmoid 函数是一种非线性函数，它的输出值介于 0 和 1 之间，可以用来激活神经元。Tanh 函数也是一种非线性函数，其输出值也介于 -1 和 1 之间，可以用来激活神经元。ReLU 函数是一种常用的非线性函数，它的输出值是输入值的绝对值，可以用来激活神经元。

### 回答2：
Sigmoid函数、Tanh函数和ReLU函数都是常用的激活函数，常用于神经网络模型中。

1. Sigmoid函数是一个非线性的函数，其数学定义为：f(z) = 1 / (1 + exp(-z))。它有一个S形的曲线，取值范围在0到1之间。Sigmoid函数的主要特点是将输入的连续实数转化为概率形式的输出，常用于二分类问题中，可以将输出映射到0和1之间，表示了某个事件发生的概率。然而，由于其容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题，当网络层数较多时，Sigmoid函数在反向传播中可能导致梯度无法有效地传播。

2. Tanh函数是双曲线正切函数，其数学定义为：f(z) = (exp(z) - exp(-z)) / (exp(z) + exp(-z))。类似于Sigmoid函数，Tanh函数也是非线性函数，但其输出范围在-1到1之间。相比于Sigmoid函数，Tanh函数在原点附近有一个均值为0的对称点，具有更好的中心化特性，可以减小梯度爆炸的问题。然而，Tanh函数仍然存在梯度消失的问题。

3. ReLU函数是修正线性单元函数，其数学定义为：f(z) = max(0, z)。ReLU函数在输入大于零时输出等于输入，小于零时输出为零。ReLU函数具有简单的计算形式，并且在训练过程中具有更快的收敛速度。由于ReLU函数的输出非负，不存在梯度消失的问题。然而，ReLU函数在输入为负时会失活，导致相应神经元的权重和梯度无法进行更新。为解决这个问题，出现了ReLU的变种，如Leaky ReLU、PReLU等。

总结来说，Sigmoid函数和Tanh函数在某些场景下仍然有一定的应用，但在深度神经网络中，ReLU函数更受欢迎，因为它可以在一定程度上减轻梯度消失和梯度爆炸问题，并提供更快的训练速度。

### 回答3：
Sigmoid函数是一种常用的激活函数，它将输入的实数映射到一个介于0和1之间的概率值。其公式为：
\[f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}\]
该函数的特点是输出在区间(0,1)之间，对于大部分实数输入都能产生有效的梯度，但在输入接近两端的时候，梯度会变得很小。因此，Sigmoid函数在深度神经网络的训练过程中可能会出现梯度消失的问题。

Tanh函数是双曲正切函数，它将输入的实数映射到一个介于-1和1之间的值。其公式为：
\[f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\]
与Sigmoid函数相比，Tanh函数的输出区间更大，梯度也更大。它相对于原点对称，并且输入为负数时，输出接近-1，输入为正数时，输出接近1。因此，Tanh函数适用于输出介于-1和1之间的情况，但仍然存在梯度消失的问题。

ReLU函数是修正线性单元函数，它将输入的实数映射为输入本身或者0。其公式为：
\[f(x) = max(0, x)\]
ReLU函数当输入为正数时，输出等于输入；当输入为负数时，输出为0。相较于Sigmoid函数和Tanh函数，ReLU函数计算速度更快，并且不存在梯度消失的问题。然而，ReLU函数也存在一个缺点，就是在输入为负数时，梯度为0，从而导致对应的权重无法更新。为了解决这个问题，一些改进的版本如Leaky ReLU和Parametric ReLU被提出。