计算向量的hessian矩阵
时间: 2023-10-14 09:05:23 浏览: 32
假设有一个 $n$ 维向量 $\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots,x_n]$,我们可以将其看作一个函数 $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$,其中 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T\mathbf{x}$。那么向量 $\mathbf{x}$ 的 Hessian 矩阵就是 $f$ 的二阶偏导数构成的矩阵,即:
$$
\mathbf{H}=\begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
2 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 2
\end{bmatrix} =2\mathbf{I}
$$
其中 $\mathbf{I}$ 是 $n$ 维的单位矩阵。因此,对于任意的 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$,其 Hessian 矩阵都是 $2\mathbf{I}$。