函数y=根号x*ln x的导数等于0时，求x的值

首先，我们可以使用乘法法则和链式法则来求解这个函数的导数：

y = √x * ln(x)
y' = (1/2√x) * ln(x) + √x * (1/x)

现在我们需要找到满足 y' = 0 的 x 值。将 y' 置为 0 并解出 x：

(1/2√x) * ln(x) + √x * (1/x) = 0
ln(x)/2√x = -1/√x
ln(x) = -2
x = e^(-2) ≈ 0.1353

因此，函数 y = √x * ln(x) 在 x ≈ 0.1353 处的导数为 0。

相关问题

函数y=根号x*ln x的导数是

这是一个复合函数，需要使用链式法则来求导。

设 $u=\sqrt{x}$，$v=\ln{x}$，则 $y=u\cdot v$。

根据链式法则，导数公式为：

$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot v+u\cdot\frac{dv}{dx}$

其中，$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}$。

代入公式，得到：

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\ln{x}+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}$

化简可得：

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}+2\ln{x}}{2x\sqrt{x}}$

因此，函数 $y=\sqrt{x}\ln{x}$ 的导数为 $\frac{\sqrt{x}+2\ln{x}}{2x\sqrt{x}}$。

证明 ln(x+根号(1+x^2))求导 = 1/根号（1+x^2）

要证明 ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)，我们可以使用隐函数求导法。

设 y = ln(x + √(1 + x^2))，则 e^y = x + √(1 + x^2)。

对上述等式两边同时对 x 求导，得到：

(e^y) * dy/dx = 1 + (1/2)*(1 + x^2)^(-1/2)*2x
= 1 + x/√(1 + x^2)

将 e^y 替换为其表达式 x + √(1 + x^2)，得到：

(x + √(1 + x^2)) * dy/dx = 1 + x/√(1 + x^2)

再将 dy/dx 单独解出来，得到：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))

现在我们比较上述结果与要证明的结果 1/√(1 + x^2)：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))
= (1/√(1 + x^2)) * (1 + x/√(1 + x^2))
= 1/√(1 + x^2)

因此，ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)。证毕。