Ln(X+根号(1+X2))求导

要求函数 f(x) = ln(x + √(1 + x^2)) 的导数，我们可以使用链式法则来解决。

首先，我们可以将 f(x) 表示为 g(h(x)) 的形式，其中 h(x) = x + √(1 + x^2)，而 g(u) = ln(u)。然后，我们可以计算 g(u) 和 h(x) 的导数，然后将它们乘在一起。

首先，计算 g(u) 的导数。根据链式法则，g'(u) = 1/u。

然后，计算 h(x) 的导数。根据链式法则，h'(x) = 1 + (1/2)*(1 + x^2)^(-1/2)*2x = 1 + x/√(1 + x^2)。

现在，我们可以将这两个导数相乘，得到 f(x) 的导数：

f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
= (1/(x + √(1 + x^2))) * (1 + x/√(1 + x^2))
= (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))

所以，f(x) 的导数为 (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))。

相关问题

证明 ln(x+根号(1+x^2))求导 = 1/根号（1+x^2）

要证明 ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)，我们可以使用隐函数求导法。

设 y = ln(x + √(1 + x^2))，则 e^y = x + √(1 + x^2)。

对上述等式两边同时对 x 求导，得到：

(e^y) * dy/dx = 1 + (1/2)*(1 + x^2)^(-1/2)*2x
= 1 + x/√(1 + x^2)

将 e^y 替换为其表达式 x + √(1 + x^2)，得到：

(x + √(1 + x^2)) * dy/dx = 1 + x/√(1 + x^2)

再将 dy/dx 单独解出来，得到：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))

现在我们比较上述结果与要证明的结果 1/√(1 + x^2)：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))
= (1/√(1 + x^2)) * (1 + x/√(1 + x^2))
= 1/√(1 + x^2)

因此，ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)。证毕。

求1+x乘以ln(x+根号下1+x^2)-根号下1+x^2在x

首先，我们可以将1+x乘以ln(x+根号下1+x^2)展开成1乘以ln(x+根号下1+x^2)加上x乘以ln(x+根号下1+x^2)。接下来，我们可以使用链式法则来求导数。

对于第一个部分，我们有：

f(x) = ln(x+根号下1+x^2)

f'(x) = 1 / (x+根号下1+x^2) * (1 + 1/2x * 2(1+x^2)^(-1/2) * 2x)

= 1 / (x+根号下1+x^2) * (1 + x / 根号下1+x^2)

= (1 + x) / (x+根号下1+x^2)^2

对于第二个部分，我们有：

g(x) = x * ln(x+根号下1+x^2)

g'(x) = ln(x+根号下1+x^2) + x / (x+根号下1+x^2)

= f(x) + x / (x+根号下1+x^2)

最后，我们需要求得的是f(x) * (1+x) - 根号下1+x^2 - g(x)在x=1时的值。

f(1) = ln(1+根号下2)

f'(1) = (1+1) / (1+根号下2)^2 = 2 / (3+2根号下2)

g(1) = 1 * ln(1+根号下2) = ln(1+根号下2)

g'(1) = f(1) + 1 / (1+根号下2) = ln(1+根号下2) + 1 / (1+根号下2)

最后的结果为：

f(1) * (1+1) - 根号下2 - g(1) = (ln(1+根号下2) * 2 - 根号下2) - (ln(1+根号下2) + 1 / (1+根号下2))

≈ 1.2398