对函数y=ln(x+(x^2+1)^(1/2))求导

我们可以使用链式法则和对数函数的导数公式来求解：

首先，我们可以将函数 y=ln(x (x^2+1)^(1/2)) 改写为 y=ln(x√(x^2+1))，这样求导会更加方便。

然后，我们可以使用链式法则，将函数分解为两个部分：

u = x√(x^2+1)

v = ln(u)

现在，我们需要分别求出 u 和 v 的导数，然后将它们组合起来使用链式法则求出 y 对 x 的导数。

首先，对 u 求导：

u' = (x)'(x^2+1)^(1/2) + x [(x^2+1)^(1/2)]'

u' = [(x^2+1)^(1/2)] + x (1/2)(x^2+1)^(-1/2)(2x)

u' = (x^2+1)^(1/2) + x^2/(x^2+1)^(1/2)

然后，对 v 求导：

v' = u' / u

v' = [(x^2+1)^(1/2) + x^2/(x^2+1)^(1/2)] / [x√(x^2+1)]

现在，我们可以使用链式法则，将 u 和 v 的导数组合起来求解 y 对 x 的导数：

y' = v' / (x√(x^2+1)) + [ln(x√(x^2+1))]'

y' = [(x^2+1)^(1/2) + x^2/(x^2+1)^(1/2)] / [x(x^2+1)] + 1/x√(x^2+1)

因此，函数 y=ln(x (x^2+1)^(1/2)) 的导数为：

y' = [(x^2+1)^(1/2) + x^2/(x^2+1)^(1/2)] / [x(x^2+1)] + 1/x√(x^2+1)

相关问题

证明 ln(x+根号(1+x^2))求导 = 1/根号（1+x^2）

要证明 ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)，我们可以使用隐函数求导法。

设 y = ln(x + √(1 + x^2))，则 e^y = x + √(1 + x^2)。

对上述等式两边同时对 x 求导，得到：

(e^y) * dy/dx = 1 + (1/2)*(1 + x^2)^(-1/2)*2x
= 1 + x/√(1 + x^2)

将 e^y 替换为其表达式 x + √(1 + x^2)，得到：

(x + √(1 + x^2)) * dy/dx = 1 + x/√(1 + x^2)

再将 dy/dx 单独解出来，得到：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))

现在我们比较上述结果与要证明的结果 1/√(1 + x^2)：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))
= (1/√(1 + x^2)) * (1 + x/√(1 + x^2))
= 1/√(1 + x^2)

因此，ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)。证毕。

ln(1+x^2)d(1+x^2)的结果

### 回答1：
我们可以使用 u-替换法 来求解这个积分。

设 u = 1 + x^2，那么 du/dx = 2x。

将 u 和 du/dx 代入原式中，得到：

ln(u) du

通过分部积分法，我们可以将 ln(u) du 转化为 u*ln(u) - u + C，其中 C 为常数。

将 u = 1 + x^2 代入，得到：

(1 + x^2)ln(1 + x^2) - (1 + x^2) + C

因此，ln(1+x^2)d(1+x^2) 的结果为 (1 + x^2)ln(1 + x^2) - (1 + x^2) + C。

### 回答2：
我们先来分析这个问题。

首先，ln(1 x^2) 是一个对数函数，其中 x 是一个变量。

然后，d(1 x^2) 表示对 (1 x^2) 进行微分。

根据链式法则，如果 y = f(g(x))，那么 y' = f'(g(x)) * g'(x)。

将我们的问题转化为链式法则的形式：

f(u) = ln(u)，其中 u = 1 x^2
g(x) = 1 x^2

根据链式法则，f(g(x)) 的导数即为 f'(g(x)) * g'(x)。

我们需要求解 f'(u) 和 g'(x)。

首先，求解 f'(u)：
f'(u) 可以通过求导数法则得到，即 f'(u) = 1/u。

然后，求解 g'(x)：
g'(x) 可以通过求导数法则得到，即 g'(x) = 2x。

将 f'(u) 和 g'(x) 代入链式法则，得到：
(d/dx) ln(1 x^2) = (1/(1 x^2)) * 2x

化简得到：
(d/dx) ln(1 x^2) = 2x/(1 x^2)

因此，ln(1 x^2)d(1 x^2) 的结果为 2x/(1 x^2)。

### 回答3：
要求求解 ln(1 x^2) * d(1 x^2) 的结果。

首先，我们需要明确一下符号的意义。ln表示自然对数，d表示微分操作。

我们先来计算 ln(1 x^2)。根据对数的性质，ln(1 x^2) 可以用ln(1) + ln(x^2)来表示。由于ln(1) = 0，所以ln(1 x^2) = ln(x^2)。

然后我们来计算 d(1 x^2)。微分操作d表示对函数进行微分，对于函数 f(x) = 1 x^2，我们可以使用链式法则来计算它的导数。首先，令 u = 1 x^2，那么 f(x) = u。然后，根据链式法则，d(u) = d(1 x^2) = f'(x) dx = 2 x dx。

现在，我们已经计算出了 ln(1 x^2) 和 d(1 x^2) 的结果，分别为 ln(x^2) 和 2 x dx。

最终的结果就是 ln(x^2) * 2 x dx。

希望能对你有所帮助！