python怎么算(1+1/x)^x的积分
时间: 2023-05-18 17:03:47 浏览: 79
这个积分可以用变量代换法来解决。令u=1+x,那么du/dx=1,dx=du,将x用u-1代入原式得到:
∫(1+1/(1+x))^x dx = ∫(1+1/u)^(u-1) du
这个积分可以用指数函数的求导公式来解决,令y=(1+1/u)^(u-1),那么lny=(u-1)ln(1+1/u),对lny求导得到:
dy/dx = y * (ln(1+1/u) - 1/(u+1))
将y代入得到:
∫(1+1/(1+x))^x dx = ∫(1+1/u)^(u-1) du = ∫y du/dx dx = ∫y * (ln(1+1/u) - 1/(u+1)) du
这个积分可以用分部积分法来解决,令f(u)=ln(1+1/u)-1/(u+1),g(u)=u,那么f'(u)=-1/(u(u+1)),g'(u)=1,对积分式进行分部积分得到:
∫y * (ln(1+1/u) - 1/(u+1)) du = u * ln(1+1/u) - ∫ln(1+1/u)/(u+1) du
这个积分可以用分数分解法来解决,将ln(1+1/u)/(u+1)拆分成A/u + B/(u+1),得到:
A = ln(2) - 1,B = 1
将A和B代入得到:
∫ln(1+1/u)/(u+1) du = ln(2) * ∫1/u du - ∫1/(u+1) du = ln(2) * ln(u) - ln(u+1)
将这个结果代入分部积分的式子得到:
∫(1+1/(1+x))^x dx = u * ln(1+1/u) - u * ln(2) + ln(u+1) + C
将u代入得到:
∫(1+1/(1+x))^x dx = (1+x) * ln(1+1/(1+x)) - (1+x) * ln(2) + ln(2+x) + C
其中C为常数。