1/（根号下x+1）+1的原函数

我们可以先对 1/（根号下x+1） 进行变量代换，令 u = 根号下x+1，那么有：

∫ 1/（根号下x+1） dx = ∫ 1/u × 2u dx

化简得：

∫ 1/（根号下x+1） dx = 2∫ du/u

对于第二项 ∫ du/u，它的原函数为 ln|u| + C，代入 u = 根号下x+1，得到：

∫ 1/（根号下x+1） dx = 2ln|根号下x+1| + C

因此，1/（根号下x+1）+1 的原函数为 2ln|根号下x+1| + x + C。其中，C 为任意常数。

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1/[（根号下x+1）+1]的原函数

我们可以先对 1/[（根号下x+1）+1] 进行变量代换，令 u = 根号下x+1，那么有：

∫ 1/[（根号下x+1）+1] dx = ∫ 1/(u+1) × 2u dx

化简得：

∫ 1/[（根号下x+1）+1] dx = 2∫ du/(u+1)

对于第二项 ∫ du/(u+1)，它的原函数为 ln|u+1| + C，代入 u = 根号下x+1，得到：

∫ 1/[（根号下x+1）+1] dx = 2ln|根号下x+1+1| + C

因此，1/[（根号下x+1）+1] 的原函数为 2ln|根号下x+1+1| + C。其中，C 为任意常数。

求x*ln(x+根号下1+x^2)-根号下1+x^2在x趋向负无穷的极限

首先，我们观察被求极限的函数：

f(x) = xln(x+√(1+x^2)) - √(1+x^2)

当x趋向负无穷时，我们可以将f(x)中的√(1+x^2)看作x的高次项，从而得到：

f(x) ≈ xln(x+x) - x

f(x) ≈ xln(2x) - x

因此，我们可以将原式重写为：

f(x) = xln(2x) - x - xln(x+√(1+x^2))

f(x) = xln(2x) - x - xln(x(1+√(1/x^2)))

f(x) = xln(2x) - x - xln(x) - xln(1+√(1/x^2))

接下来，我们分别考虑每一项的极限：

lim xln(2x) = -∞ (当x趋向负无穷时)

lim xln(x) = -∞ (当x趋向负无穷时)

lim xln(1+√(1/x^2)) = lim xln(1+1/|x|) = 0 (当x趋向负无穷时)

因此，原式的极限为：

lim xln(x+√(1+x^2)) - √(1+x^2) = -∞

注意：在上述计算中，我们使用了对数函数和根号函数的渐进性质，即：

ln(x) / x → 0 (当x趋向正无穷时)

ln(x) / x → -∞ (当x趋向负无穷时)

√(x^2+1) / x → 1 (当x趋向正无穷时)

√(x^2+1) / x → 1 (当x趋向负无穷时)