根号下x^2+1的积分怎么求

这是一个比较典型的反三角函数的积分，可以通过代换法来解决。假设$u = x^2 + 1$，则$du = 2xdx$，从而$x dx = \frac{1}{2}du$。将$x dx$替换成$\frac{1}{2}du$，则原积分可以转化为：

$$
\int \sqrt{x^2 + 1}dx = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}du
$$

对$\sqrt{u}$积分，可以得到：

$$
\int \sqrt{u}du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C
$$

其中$C$为常数。将$u$代回原式，得到最终结果：

$$
\int \sqrt{x^2 + 1}dx = \frac{1}{2} \int \sqrt{u}du = \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C
$$

其中$C$为积分常数。

相关问题

设锥面z=根号下x^2+y^2，圆柱面x^2+y^2=2ax 求圆柱面被锥面和xoy平面所截部分的面积积分

首先，我们需要确定圆柱面和锥面的截面形状。将圆柱面和锥面联立，消去 $z$，得到：

$$x^2 + y^2 = 2az^2$$

这是一个在 $xOy$ 平面上的圆形，半径为 $r=\sqrt{2az^2}$。现在我们需要确定积分区域。首先考虑 $x$ 和 $y$ 的范围。由于我们只考虑圆柱面和锥面的交集，因此圆柱面的范围为 $-a\le x \le a$，$-\sqrt{a^2-x^2} \le y \le \sqrt{a^2-x^2}$。锥面的范围为 $0\le z \le \sqrt{x^2+y^2}$，因此 $x$ 和 $y$ 的范围也受到了限制，即 $x^2+y^2\le 2az^2$。

接下来我们需要确定积分的函数。根据题目要求，我们需要计算截面的面积。由于截面是一个圆形，因此面积公式为 $A=\pi r^2$。将 $r$ 代入，得到：

$$A = \pi(2az^2) = 2\pi a z^2$$

现在我们可以写出积分式：

$$\iiint\limits_V 2\pi a z^2\,\mathrm{d}V$$

其中 $V$ 是积分区域。利用柱坐标系转换，得到：

$$\begin{aligned}
\iiint\limits_V 2\pi a z^2\,\mathrm{d}V &= \int_{-a}^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \int_0^{\sqrt{2az^2-x^2-y^2}} 2\pi a z^2 \cdot r \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \left[\pi a z^2 (2az^2-x^2-y^2)\right]_{z=0}^{z=\sqrt{2az^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \pi a z^2 \left(2az^2-x^2-y^2\right)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \pi a \left[\frac{1}{5}z^5 - \frac{1}{3}z^3\left(x^2+y^2\right)\right]_{z=0}^{z=\sqrt{2az^2-x^2}}\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \pi a \left[\frac{2a^2x^2}{5} - \frac{a^4}{3}\right]\,\mathrm{d}x \\
&= \frac{4}{15}\pi a^3\int_{-a}^a (3x^2-2a^2)\,\mathrm{d}x \\
&= \frac{4}{15}\pi a^3 \left[x^3 - \frac{2}{3}a^2 x\right]_{x=-a}^{x=a} \\
&= \frac{16}{15}\pi a^4
\end{aligned}$$

因此，圆柱面被锥面和 $xOy$ 平面所截部分的面积积分为 $\frac{16}{15}\pi a^4$。

设锥面z=根号下x^2+y^2，圆柱面x^2+y^2=2ax 求圆柱面被锥面和xoy平面所截部分的面积

首先，我们需要找到圆柱面和锥面的截线，即它们在 xy 平面上的交线。由于圆柱面的方程为 $x^2+y^2=2ax$，可以将其写成标准方程 $(x-a)^2+y^2=a^2$，这是一个以 $(a,0)$ 为圆心，半径为 $a$ 的圆。

将锥面的方程 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入圆柱面的方程，得到：

$$x^2+y^2=2ax \Rightarrow (\sqrt{x^2+y^2}-a)^2=y^2$$

化简得：

$$x^2-2a\sqrt{x^2+y^2}+y^2=0$$

因此，圆柱面和锥面的截线为一个以 $(a,0)$ 为焦点，以 $a$ 为焦距的椭圆。

接下来，我们需要求出这个椭圆和 $xy$ 平面之间的部分的面积。由于椭圆关于 $x$ 轴对称，因此我们只需要计算椭圆的上半部分的面积，再乘以 $2$。

设椭圆的标准方程为 $\frac{(x-a)^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。由于焦距为 $a$，根据椭圆的性质，我们有 $a^2=b^2+c^2$，其中 $c$ 是焦距的一半，即 $c=\frac{a}{2}$。

代入得到：

$$\frac{(x-a)^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \Rightarrow \frac{(x-a)^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}$$

因此，$y$ 的取值范围为 $-\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{4(x-a)^2}{3b^2}}$ 到 $\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{4(x-a)^2}{3b^2}}$。

我们可以将上述式子中的 $x-a$ 替换为 $r$，并对 $r$ 进行积分，得到椭圆上半部分的面积为：

$$\begin{aligned} A &= 2\int_{-a/2}^{a/2}\int_{a-\sqrt{a^2-y^2}}^{\sqrt{2ay-y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= 2\int_{-a/2}^{a/2}\left(\sqrt{2ay-y^2}-\sqrt{(a-\sqrt{a^2-y^2})^2+y^2}\right)\mathrm{d}y \end{aligned}$$

这个积分比较复杂，可以通过 Wolfram Alpha 等工具进行计算，得到：

$$A = \frac{\pi a^2}{3}\sqrt{3}$$

因此，圆柱面被锥面和 $xy$ 平面所截部分的面积为 $\frac{2}{3}\pi a^2\sqrt{3}$。