根号(1+x的4次方)分之一的不定积分并且写上解题过程
时间: 2024-04-01 08:37:47 浏览: 32
好的,我知道了。这是一个比较典型的有理函数积分,可以使用三角代换法来解决。
首先,我们可以令 $x=\tan^2u$,则 $dx=2\tan u\sec^2 u du$。将 $x$ 代入 $\sqrt{1+x^4}$,得到 $\sqrt{1+x^4}=\sqrt{1+\tan^4u}=\sec^2u$。
所以,原式可以转化为:
$$
\int\frac{\sqrt{1+x^4}}{x}\,dx=\int\frac{\sec^2u}{\tan^2u}\cdot 2\tan u\sec^2u\,du=2\int\frac{1}{\sin^2u}\,du=-2\cot u+C
$$
其中,$C$ 为常数。由于我们令 $x=\tan^2u$,因此需要将 $u$ 表示为 $x$ 的函数。因为 $\tan^2u=x$,所以 $u=\arctan\sqrt{x}$。
将 $\cot u$ 替换为 $\cos u/\sin u$,并将 $u$ 替换为 $\arctan\sqrt{x}$,得到最终的结果:
$$
\int\frac{\sqrt{1+x^4}}{x}\,dx=-\frac{\cos(\arctan\sqrt{x})}{\sin(\arctan\sqrt{x})}+C=-\frac{\sqrt{x^3}}{1+x^2}+C
$$
其中,$C$ 为常数。
相关问题
根号(cosθ的平方加1)分之cosθ的不定积分,并且写上解题过程
这是一个比较典型的三角函数积分,可以通过换元法求解。
我们令u = cosθ,那么du = -sinθ dθ,于是原式可以变为:
∫(根号(cosθ的平方加1)/cosθ) dθ = -∫(根号(u的平方+1)/u) du
接下来,我们可以通过有理化的方式将被积函数中的根号去掉,具体过程如下:
- 将被积函数乘以(根号(u的平方+1)+u)/(根号(u的平方+1)+u),得到:
∫(根号(u的平方+1)/u) du + ∫du/(u根号(u的平方+1))
- 对第二个积分进行换元,令v = u的平方+1,那么dv = 2u du,于是有:
∫du/(u根号(u的平方+1)) = (1/2)∫dv/v^(1/2) = v^(1/2) + C = (u的平方+1)^(1/2) + C
综上所述,原式的解为:
-∫(根号(u的平方+1)/u) du + (u的平方+1)^(1/2) + C
将u = cosθ代入,并且把负号放到最前面,得到最终答案:
-∫(根号(cosθ的平方+1)/cosθ) dθ = -ln|cosθ+(cosθ的平方+1)^(1/2)| + (cosθ的平方+1)^(1/2) + C
根号下1加x^2分之一的积分
∫(1+𝑥^2)^(-1/2) d𝑥
令u=1+𝑥^2,du/dx=2x,dx=du/2x
∫(1+𝑥^2)^(-1/2) d𝑥=∫u^(-1/2) du/2x
=1/2∫u^(-1/2) du/x
=1/2(2√u)/x+C
=√(1+x^2)/x+C
其中C为积分常数。