求1+x乘以ln(x+根号下1+x^2)-根号下1+x^2在x趋向负无穷的极限

我们可以利用洛必达法则来求解这个极限。首先我们需要将原式化简：

\begin{aligned} &1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}\\ =&\frac{(1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2})(1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2})}{1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2}}\\ =&\frac{(1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2}))^2-(1+x^2)}{1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2}}\\ \end{aligned}

因此，我们需要计算的极限就是：

\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}\frac{(1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2}))^2-(1+x^2)}{1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2}} \end{aligned}

对上式分子和分母同时除以 $x^2$，得到：

\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}\frac{(\frac{1}{x}+\ln(x+\sqrt{1+x^2}))^2-1}{\frac{1}{x}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \end{aligned}

由于 $x\to-\infty$，因此 $\frac{1}{x}\to0$。因此，上式的极限可以转化为：

\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}\frac{(\frac{1}{x}+\ln(x+\sqrt{1+x^2}))^2-1}{\frac{1}{x}+\ln(x+\sqrt{1+x^2})} \end{aligned}

对上式使用洛必达法则，得到：

\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}\frac{2(\frac{1}{x}+\ln(x+\sqrt{1+x^2}))(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}} \end{aligned}

再次对上式使用洛必达法则，得到：

\begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}\frac{2(\frac{1}{x}+\ln(x+\sqrt{1+x^2}))(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}}=&\lim_{x\to-\infty}\frac{(2+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})(1+\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}-\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}})}{1+\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}}\\ =&\frac{2}{1-0}=\boxed{2} \end{aligned}