求1+x乘以ln(x+根号下1+x^2)-根号下1+x^2在x

首先，我们可以将1+x乘以ln(x+根号下1+x^2)展开成1乘以ln(x+根号下1+x^2)加上x乘以ln(x+根号下1+x^2)。接下来，我们可以使用链式法则来求导数。

对于第一个部分，我们有：

f(x) = ln(x+根号下1+x^2)

f'(x) = 1 / (x+根号下1+x^2) * (1 + 1/2x * 2(1+x^2)^(-1/2) * 2x)

= 1 / (x+根号下1+x^2) * (1 + x / 根号下1+x^2)

= (1 + x) / (x+根号下1+x^2)^2

对于第二个部分，我们有：

g(x) = x * ln(x+根号下1+x^2)

g'(x) = ln(x+根号下1+x^2) + x / (x+根号下1+x^2)

= f(x) + x / (x+根号下1+x^2)

最后，我们需要求得的是f(x) * (1+x) - 根号下1+x^2 - g(x)在x=1时的值。

f(1) = ln(1+根号下2)

f'(1) = (1+1) / (1+根号下2)^2 = 2 / (3+2根号下2)

g(1) = 1 * ln(1+根号下2) = ln(1+根号下2)

g'(1) = f(1) + 1 / (1+根号下2) = ln(1+根号下2) + 1 / (1+根号下2)

最后的结果为：

f(1) * (1+1) - 根号下2 - g(1) = (ln(1+根号下2) * 2 - 根号下2) - (ln(1+根号下2) + 1 / (1+根号下2))

≈ 1.2398