求解下列微分方程：dy/dx=x^2/(1+x^3)

将微分方程变形为：

dy/dx = x^2 / (1+x^3)

分母可以因式分解为 (x+1)(x^2-x+1)，因此可以写成：

dy/dx = x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)]

对等式两边同时积分，得到：

∫ dy = ∫ x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)] dx

右侧积分可以使用部分分式分解来解决。首先，根据部分分式分解的公式，假设右侧分母可以写成：

(x+1)(x^2-x+1) = A(x+1) + B(x^2-x+1)

其中，A 和 B 是待定常数。将等式两边同时乘以 (x+1)(x^2-x+1)，得到：

x^2 = A(x+1)^2 + B(x^2-x+1)(x+1)

将 x 分别取 -1, 0, 1，可以得到以下三个方程：

-1 = 2A - B
0 = A + B
1 = 4A + 2B

解以上方程可以得到 A=-1/3 和 B=4/3。因此，右侧积分可以变形为：

∫ x^2 / [(x+1)(x^2-x+1)] dx = ∫ [-1/(3(x+1))]dx + ∫ [4x-1/(3(x^2-x+1))]dx

对右侧的两个积分分别使用常见的积分公式，得到：

∫ [-1/(3(x+1))]dx = -(1/3) ln|x+1| + C1

和

∫ [4x-1/(3(x^2-x+1))]dx = 2x^2 - (2/3) ln|x^2-x+1| + C2

因此，微分方程的解为：

y = -(1/3) ln|x+1| + 2x^2 - (2/3) ln|x^2-x+1| + C

其中，C 是积分常数。

相关问题

求解下列微分方程：dy/dx=x^2/y(1+x^3)

将微分方程变形为：

y dy = x^2 dx / (1+x^3)

对等式两边同时积分，得到：

∫ y dy = ∫ x^2 dx / (1+x^3)

左侧的积分可以使用换元法来解决，令 u = 1 + x^3，则 du/dx = 3x^2，从而：

∫ y dy = (1/3) ∫ du / u

左侧的积分可以直接求解，得到：

1/2 y^2 = (1/3) ln|1+x^3| + C

其中，C 是积分常数。将等式两边同时乘以 2，并且解出 y，得到：

y = ±sqrt[2/3 (ln|1+x^3|+C)]

因此，微分方程的解为：

y = ±sqrt[2/3 (ln|1+x^3|+C)]

其中，C 是积分常数。

求解下列微分方程：dy/dx=x^2/[y(1+x^3)]

将微分方程变形为：

y dy = x^2 dx / (1+x^3)

对等式两边同时积分，得到：

∫ y dy = ∫ x^2 dx / (1+x^3)

左侧的积分可以直接求解，得到：

1/2 y^2 = 1/3 ln|1+x^3| + C

其中，C 是积分常数。将等式两边同时乘以 2，并且解出 y，得到：

y = ±sqrt[2/3 (ln|1+x^3|+C)]

因此，微分方程的解为：

y = ±sqrt[2/3 (ln|1+x^3|+C)]

其中，C 是积分常数。