证明 ln(x+根号(1+x^2))求导 = 1/根号（1+x^2）

要证明 ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)，我们可以使用隐函数求导法。

设 y = ln(x + √(1 + x^2))，则 e^y = x + √(1 + x^2)。

对上述等式两边同时对 x 求导，得到：

(e^y) * dy/dx = 1 + (1/2)*(1 + x^2)^(-1/2)*2x
= 1 + x/√(1 + x^2)

将 e^y 替换为其表达式 x + √(1 + x^2)，得到：

(x + √(1 + x^2)) * dy/dx = 1 + x/√(1 + x^2)

再将 dy/dx 单独解出来，得到：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))

现在我们比较上述结果与要证明的结果 1/√(1 + x^2)：

dy/dx = (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))
= (1/√(1 + x^2)) * (1 + x/√(1 + x^2))
= 1/√(1 + x^2)

因此，ln(x + √(1 + x^2)) 的导数为 1/√(1 + x^2)。证毕。

相关问题

Ln(X+根号(1+X2))求导

要求函数 f(x) = ln(x + √(1 + x^2)) 的导数，我们可以使用链式法则来解决。

首先，我们可以将 f(x) 表示为 g(h(x)) 的形式，其中 h(x) = x + √(1 + x^2)，而 g(u) = ln(u)。然后，我们可以计算 g(u) 和 h(x) 的导数，然后将它们乘在一起。

首先，计算 g(u) 的导数。根据链式法则，g'(u) = 1/u。

然后，计算 h(x) 的导数。根据链式法则，h'(x) = 1 + (1/2)*(1 + x^2)^(-1/2)*2x = 1 + x/√(1 + x^2)。

现在，我们可以将这两个导数相乘，得到 f(x) 的导数：

f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
= (1/(x + √(1 + x^2))) * (1 + x/√(1 + x^2))
= (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))

所以，f(x) 的导数为 (1 + x/√(1 + x^2))/(x + √(1 + x^2))。

曲线x=arctant y=ln根号1+t^2上对应于t=1的点处的法线方程

首先，求出曲线在$t=1$处的点坐标$(x_0,y_0)$。将$t=1$代入$x=\arctan{t}$和$y=\ln\sqrt{1+t^2}$中，得到$x_0=\frac{\pi}{4}$和$y_0=0$。

接下来，求出曲线在$t=1$处的斜率$k$。由于法线垂直于曲线，因此法线的斜率$k_n$等于曲线在该点处的斜率$k$的相反数的倒数，即$k_n=-\frac{1}{k}$。对于曲线$x=\arctan{t}$和$y=\ln\sqrt{1+t^2}$，可以通过求导来求得其斜率：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{2t}{1+t^2} = \frac{2t}{(1+t^2)^2}$$

在$t=1$处，曲线的斜率$k$为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。因此，法线的斜率$k_n=-\frac{1}{k}=-2$。

最后，根据点斜式可得，法线方程为：

$$y - y_0 = k_n(x - x_0) \Rightarrow y = -2(x-\frac{\pi}{4})$$

因此，曲线$x=\arctan{t}$和$y=\ln\sqrt{1+t^2}$在$t=1$处的法线方程为$y=-2(x-\frac{\pi}{4})$。