∫2x^2+1/x^2(1+x^2)dx
时间: 2023-10-16 08:06:22 浏览: 56
这是一个比较复杂的积分,需要进行分部积分和有理函数分解。首先,我们可以将原式拆分成两个部分:
∫2x^2/x^2(1+x^2)dx + ∫1/x^2(1+x^2)dx
对于第一个积分,我们可以进行部分分式分解,得到:
2∫(1/(1+x^2))dx - 2∫(1/(1+x^2))/x^2 dx
第一个积分很容易求解,结果是 2arctan(x)。对于第二个积分,我们可以再次进行部分分式分解,得到:
2∫(1/x^2)dx - 2∫(x^2/(1+x^2))/x^2 dx
第一个积分很简单,结果是 -2/x。对于第二个积分,我们可以将分子进行展开,得到:
-2∫(1/(1+x^2))dx + 2∫(1/(1+x^2))dx/x^2 dx
第一个积分同样很容易求解,结果是 -2arctan(x)。对于第二个积分,我们可以再次进行部分分式分解,得到:
2∫(1/(1+x^2))(1/x^2 - 1/(1+x^2))dx
这个积分也可以比较容易地求解,结果是 2ln(x) - 2arctan(x)。
将这些结果合并起来,我们可以得到原式的最终结果:
2arctan(x) - 2/x - 2ln(x) + C
其中 C 是常数项。
相关问题
∫1/(x^2+4)dx
To integrate 1/(x^2+4), we can use the substitution u = x/2. Then, du/dx = 1/2 and dx = 2du.
Substituting these into the integral, we get:
∫1/(x^2+4) dx = ∫1/((2u)^2+4) 2du
= ∫1/(4u^2+4) 2du
= ∫1/4(u^2+1) du
Using the formula ∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)tan^(-1)(x/a) + C, we can evaluate the integral:
= (1/4)tan^(-1)(u/1) + C
= (1/4)tan^(-1)(x/2) + C
Therefore, the antiderivative of 1/(x^2+4) is (1/4)tan^(-1)(x/2) + C.
∫dx/(5x^2+2)
根据提供的引用内容,我们无法找到与题目相关的信息。但是,我们可以回答您提出的问题。
要求∫dx/(5x^2+2),我们可以使用代换法来解决它。令u=√(5/2)x,则du/dx=√(5/2)/2x,dx=2/√(5/2)du。将其代入原式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5(√(2/5)u)^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5u^2+2)
接下来,我们需要将分母转换为一个可以使用反三角函数的形式。令a=√(10)u,则du/dx=1/√(10)x,dx=√(10)du。将其代入上式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5u^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5(√(10)a/√(2))^2+2) = ∫(1/√2)du/(a^2+1)
现在,我们可以使用反正切函数来解决它。令b=a/√2,则a=√2b,da/dx=√2db/dx,dx=1/√2db。将其代入上式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = ∫(1/√2)du/(a^2+1) = ∫(1/√2)(√2db)/(2b^2+1) = (1/2)∫db/(b^2+(1/2)^2) = (1/√2)arctan(2b)
将b代入上式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = (1/√2)arctan(2a/√2) = (1/√2)arctan(√(10)x)