∫2x^2+1/x^2(1+x^2)dx

这是一个比较复杂的积分，需要进行分部积分和有理函数分解。首先，我们可以将原式拆分成两个部分：

∫2x^2/x^2(1+x^2)dx + ∫1/x^2(1+x^2)dx

对于第一个积分，我们可以进行部分分式分解，得到：

2∫(1/(1+x^2))dx - 2∫(1/(1+x^2))/x^2 dx

第一个积分很容易求解，结果是 2arctan(x)。对于第二个积分，我们可以再次进行部分分式分解，得到：

2∫(1/x^2)dx - 2∫(x^2/(1+x^2))/x^2 dx

第一个积分很简单，结果是 -2/x。对于第二个积分，我们可以将分子进行展开，得到：

-2∫(1/(1+x^2))dx + 2∫(1/(1+x^2))dx/x^2 dx

第一个积分同样很容易求解，结果是 -2arctan(x)。对于第二个积分，我们可以再次进行部分分式分解，得到：

2∫(1/(1+x^2))(1/x^2 - 1/(1+x^2))dx

这个积分也可以比较容易地求解，结果是 2ln(x) - 2arctan(x)。

将这些结果合并起来，我们可以得到原式的最终结果：

2arctan(x) - 2/x - 2ln(x) + C

其中 C 是常数项。

相关问题

∫(x^3cosx+x^6sinx)dx

首先，我们可以使用分部积分法来解决这个积分：

设 $u = x^3$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 3x^2\,dx$，$v = \sin x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int x^3 \cos x\,dx = x^3 \sin x - \int 3x^2 \sin x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 3x^2 \sin x\,dx$。再次使用分部积分法：

设 $u = 3x^2$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = 6x\,dx$，$v = -\cos x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int 3x^2 \sin x\,dx = -3x^2 \cos x + \int 6x \cos x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 6x \cos x\,dx$。再次使用分部积分法：

设 $u = 6x$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 6\,dx$，$v = \sin x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int 6x \cos x\,dx = 6x \sin x - \int 6 \sin x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 6 \sin x\,dx$。这是一个简单的积分，可以直接计算得到：

$$\int 6 \sin x\,dx = -6 \cos x + C$$

将以上结果合并，我们可以得到原始积分：

$$\int (x^3 \cos x + x^6 \sin x)\,dx = x^3 \sin x - 3x^2 \cos x - 6x \sin x + 6 \cos x + C$$

其中 $C$ 为积分常数。

高数题计算∫∫∫（x^2+y^2+xy）dv

首先，这是一个三重积分，其中积分区域需要确定。由于没有给出具体积分区域，我假设积分区域为整个三维空间。

接下来，我们可以按照以下步骤计算该三重积分：

1. 先对 $z$ 进行积分，积分区间为 $(-\infty, \infty)$：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 + y^2 + xy) \, dz \right) \, dy \right) \, dx
$$

2. 对 $z$ 进行积分后，积分式变为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( xy z + \frac{1}{3}z^3 + y^2z + xy^2 \right) \, dy \right) \, dx
$$

3. 接下来对 $y$ 进行积分，积分区间为 $(-\infty, \infty)$：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{2}xy z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{3}y^3 + \frac{1}{2}xy^2 \right) \, dy \right) \, dx
$$

4. 对 $y$ 进行积分后，积分式变为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{12}x^2y z + \frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{12}x^2y^2 + \frac{1}{12}y^4 \right) \, dy \right) \, dx
$$

5. 最后对 $x$ 进行积分，积分区间为 $(-\infty, \infty)$：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{60}x^3y + \frac{1}{3}z^3 + \frac{1}{60}x^3y^2 + \frac{1}{60}xy^4 \right) \, dy \right) \, dx
$$

6. 对 $x$ 积分后，得到最终结果为：
$$
\frac{1}{420}x^4y + \frac{1}{12}z^3x + \frac{1}{168}x^4y^2 + \frac{1}{420}x^2y^4 + C
$$

其中 $C$ 为常数项。

注意：由于积分区域为整个三维空间，所以这个积分是发散的，因此上述结果仅为参考。如果积分区域被限定在有限的范围内，才能得到有意义的结果。