若D为 x^2+y^2≤1 的上半部分,计算二重积分 I=∫∫[y^2√(1-x^2)]dxdy

首先，我们需要将积分区域表示出来。由于题目中给出了条件 $x^2+y^2\leq 1$，因此这是一个以原点为圆心，半径为 $1$ 的圆，也就是单位圆。而由于积分区域是上半部分，因此我们只需要考虑圆的上半部分：


接下来，我们对积分式进行变形：

$$
\begin{aligned}
I &= \iint_D y^2\sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\
&= \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} y^2\sqrt{1-x^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}x \quad (\text{由于上下半圆对称，只需计算}\ y\geq 0\ \text{的部分})\\
&= \int_{-1}^{1} \frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}} \mathrm{d}x \quad (\text{积分}\ y^2\ \text{时，}\ y\ \text{的范围是}\ [0, \sqrt{1-x^2}]，\text{故需要对}\ y\ \text{积分})\\
&= \frac{1}{3}\int_{-1}^{1} (1-x^2)^{\frac{3}{2}} \mathrm{d}(1-x^2) \quad (\text{令}\ 1-x^2=t)\\
&= \frac{1}{3}\int_{0}^{1} t^{\frac{3}{2}} \mathrm{d}t \quad (\text{替换积分变量})\\
&= \frac{2}{5}
\end{aligned}
$$

因此，所求的二重积分的值为 $\frac{2}{5}$。